三、两个互相垂直的简谐振动的合成

    大家先来讨论两个互相垂直并具有相同频率的简谐振动的合成。设两个振动的方向分别沿着x轴和y轴,并表示为

                                       (7-26)

由以上两式消去t ,就得到合振动的轨迹方程。为此,先将式(7-26)改写成下面的形式

                  ,             (7-27)

                  .               (7-28)

以cos b 乘以式(7-27),以cosa 乘以式(7-28),并将所得两式相减,得

                 ,           (7-29)

以sinb 乘以式(7-27),以sina 乘以式(7-28),并将所得两式相减,得

                 .         (7-30)

将式(7-29)和式(7-30)分别平方,然后相加,就得到合振动的轨迹方程

               .       (7-31)

式(7-31)是椭圆方程,所以在一般情况下,两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成,其合振动的轨迹为一椭圆,而椭圆的形状决定于分振动的相位差(b-a ) 。下面分析几种特殊情形。

    1.  b-a = 0或p,即两分振动的相位相同或相反

    这时,式(7-31)变为

                        ,

图 7-9

                .         (7-32)

在式(7-32)中,当 b-a = 0,即两分振动的相位相同时,取正号;当b-a =p,即两分振动的相位相反时,取负号。式(7-32)表示,合振动的轨迹是通过坐标原点的直线,如图7-9所示。当b-a = 0时,此直线的斜率为B/A (图中直线a);当b-a = p时,此直线的斜率为-B/A (图中直线b)。显然,在这两种情况下,合振动都仍然是简谐振动,合振动的频率与分振动相同,而合振动的振幅为

                       .

    2. ,即两个分振动的相位相差为p/2或-p/2

    这时式(7-31)变为

                          .                   (7-33)

此式表示,合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆,如图7-10所示。当b -a = p/2时,振动沿顺时针方向进行;当b -a = -p/2时,振动沿逆时

图7-10

针方向进行。如果两个分振动的振幅相等,即A =B ,椭圆变为圆,如图7-11所示。

图 7-12

如果两个分振动的相位差 (b-a) 不为上述数值,那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。图7-12画出了几种不同相位差所对应的合振动的轨迹图形。

         现在简略讨论一下两个互相垂直的、具有不同频率的简谐振动的合成情况。如果两个分振动的频率接近,其相位差将随时间变化,合振动的轨迹将不断按图7-12所示的顺序,在上述矩形范围内由直线逐渐变为椭圆,又由椭圆逐渐变为直线,并不断重复进行下去。

    如果两个分振动的频率相差较大,但有简单的整数比关系,这时合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线,这种曲线称为利萨如图形。图7-13表      

图 7-13

示了两个分振动的频率之比为1:2、1:3和2:3情况下的利萨如图形。利用利萨如图形的特点,可以由一个频率已知的振动,求得另一个振动的频率。这是无线电技术中常用来测定振荡频率的方法。

    如果两个互相垂直的简谐振动的频率之比是无理数,那么合振动的轨迹将不重复地扫过整个由振幅所限定的矩形(2A´2B)范围。这种非周期性运动称为准周期运动。

 

 

 

       
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