*四、振动的分解

    从上节对两个简谐振动的合成的讨论中,已经看到,合成后的振动可能是简谐振动,而一般情况下则是复杂的振动。这就清楚地表明了,一个复杂的振动是由两个或两个以上的简谐振动所合成。由此,大家可以断定,一个复杂的振动必定包含了两个或两个以上的简谐振动。

图 7-14

    先让大家看一个简单的例子。图7-14是周期分别为TT/2 (或角频率分别为w和2w)的两个简谐振动合成的情形;图7-15是周期分别为

TT/2和T/3 (或角频率分别为w、2w和3w)的三个简谐振动合成的情形。由合成的结果可见,在这两种情形下所得合振动都是周期为T的周期性振动。由此可以推断,若把有限个或无限个周期分别为TT/2、T/3、… (或角频率分别为w、2w、3w、…)的简谐振动合成起来,所得合振动也一定是周期为T的周期性振动。这就意味着一个周期为T的任意周期性振动,必定包含了周期分别为TT/2、T/3、… (或角频率分别为w、2w、3w、… )的一系列简谐振动。既然如此,一个周期为T的任意周期性振动一定可以分解为周期分别为TT/2、T/3、… (或角频率分别为w、2w、3w、… )的一系列简谐振动,其中角频率为w的简谐振动称为基频振动,角频率为nw的简谐振动称为n次谐频振动。数学上的傅里叶级数理论确保了这种分解的可行性。傅里叶级数理论表明,一个以T为周期的周期性函数f(t) 可以展开为正弦或余弦函数的级数

                 ,                 (7-34)

式中w = 2p/T是函数f(t)的角频率,级数的各项系数An就是各简谐振动的振幅,而各jn值就是各简谐振动的初相位,它们都可以由函数f (t)的积分求得。

                    图 7-16

    将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作,称为频谱分析。在进行频谱分析时,所取级数的项数越多,这些简谐振动之和就越接近被分析的复杂振动。一般来说,频率越高的简谐振动的振幅就越小,对合振动的贡献也越小。在实际问题中,可根据要求精度取有限项数即可。将所取项的振幅A和对应的角频率w 画成的如图7-16所示的图线,就是该复杂振动的频谱,其中每一条短线称为谱线。

 

       
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