§7-3  阻尼振动、受迫振动和共振

    一、阻尼振动

    以上大家所讨论的简谐振动是严格的周期性振动,即振动的位移、速度和加速度等每经过一个周期就完全恢复原值,但这毕竟只是一种理想情况。任何实际的振动都必然要受到摩擦和阻力的影响,振动系统必须克服摩擦和阻力而作功,外界若不持续地提供能量,振动系统自身的能量将不断减少。振动能量减小的另一种途径是由于振动物体引起邻近介质质点的振动,并不断向外传播,振动系统的能量逐渐向四周辐射出去。由于振动能量正比于振幅的平方,所以随着能量的减少,振幅也逐渐减小。

    振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。在以下的讨论中,大家只考虑由于摩擦和阻力引起的阻尼振动。

    当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时,物体所受流体的阻力主要是黏性阻力。黏性阻力的大小与物体运动的速率v成正比,方向与运动方向相反,可以表示为

                          ,                 (7-35)

式中g 称为阻力系数,负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反。考虑了黏性阻力,物体的振动方程可以写为

                      ,                (7-36)

式(7-36)可以改写为

                      .              (7-37)

式中w 0称为振动系统的固有角频率,b 称为阻尼常量,它取决于阻力系数g。在阻尼较小的情况下,b 2 < w 02,式(7-37)的解可以表示为

                     ,                (7-38)

其中

                        ,                   (7-39)

图 7-17

A0j为积分常量,可由初始条件决定。式(7-38)所表示的位移与时间的关系,可描绘成图7-17中曲线a所示的情形。由图可以看出,阻尼振动不是严格的周期运动,因为位移不能在每一个周期后恢复原值,也是一种准周期性运动。若与无阻尼的情况相比较,阻尼振动的周期可表示为

                      .                  (7-40)

可见,由于阻尼的存在,周期变长了,频率变小了,即振动变慢了。

    在阻尼较大,即过阻尼的情况下,b 2 >w 02,式(7-38)不再是方程(7-37)的解了。这时运动已完全不是周期性的了。由于阻尼足够大,运动进行得太慢,偏离平衡位置的距离随时间按指数衰减,以致需要相当长的时间系统才能到达平衡位置,如图7-17中曲线b所示。

    在工程技术上,常根据需要控制阻尼的大小,以实现控制系统运动状况的目的。例如,天平和高灵敏电流计,要求指针(或光标)迅速地、无振荡地达到平衡位置,以便尽快地读数,需把系统控制在临界阻尼状态,就是图7-17中曲线c的情形,这时b 2 = w 02

       
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