二、受迫振动

    在周期性外力作用下发生的振动,称为受迫振动。如机器运转时所引起的机架、机壳和基础的振动,扬声器纸盆在音圈的带动下所发生的振动,都属于受迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为驱动力,它可以是简谐力,也可以是非简谐力。大家这里所要讨论的是在简谐力的作用下发生的受迫振动。

    一个振动系统由于不可避免地要受到阻尼作用,振动能量不断减小,若没有能量补充,系统的运动将以阻尼振动的形式,逐渐衰减并停止下来。现通过驱动力对振动系统作功,不断对系统补充能量,如果补充的能量正好弥补了由于阻尼所引起的振动能量的损失,振动就得以维持并会达到稳定状态。设驱动力为 F cos t,则振动方程可写为

                    ,

或者

                    ,            (7-41)

式中 ,而b w 0的定义同前所述。方程(7-41)的解可以写为

               ,       (7-42)

式(7-42)表示, 受迫振动是由阻尼振动 和简谐振动 两项叠加而成的。第一项随时间逐渐衰减,经过足够长时间后将不起作用,所以它对受迫振动的影响是短暂的。第二项体现了简谐驱动力对受迫振动的影响。当受迫振动达到稳定状态时,位移与时间的关系可以表示为

                        x = A cos ( t - y) .                 (7-43)

可见,稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动。

    由式(7-43)和振动方程(7-41),可以求得受迫振动达到稳定状态时的振幅和初相位。将式(7-43)代入振动方程(7-41),可以得到下面的恒等式

      ,

将cos ( t -y)和 sin ( t-y)展开,上式成为

        

由此可以得到两个方程式

                             (7-44)

                             (7-45)

由式(7-45)可求得受迫振动的初相位

                                     (7-46)

由式(7-46)求得

                 ,

                 .

将上两式同时代入式(7-44),可求得稳定状态受迫振动的振幅

                   .             (7-47)

由式(7-46)和式(7-47)可以看出,受迫振动的初相位y和振幅A不仅与振动系统自身的性质有关,而且与驱动力的频率和幅度有关。

       
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