§7-5  简谐波

    一般情况下的波是很复杂的,但存在一种最简单也是最基本的波,这就是当波源作简谐振动时,所引起的介质各点也作简谐振动而形成的波,这种波称为简谐波。任何一种复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成。波面为平面的简谐波称为平面简谐波,以下所讨论的就是这种波。

    假设在各向同性的均匀介质中沿x轴方向无吸取地传播着一列平面简谐波,在波线上取一点O作为坐标原点,该波线就是x轴。假设在t时刻处于原点O的质点的位移可以表示为

                         y0 = A cosw t ,

式中A为振幅,w为角频率。这样的振动沿着x轴方向传播,每传到一处,那里的质点将以同样的振幅和频率重复着原点O的振动。现在来考察x轴上任意一点P的振动情况,这点位于x处。振动从原点O传播到点P所需要的时间为 ,在这段时间内点O振动了 次,每振动一次相位改变2p,所以点O在这段时间内振动相位共改变了2pn 。这就是说,点P的振动比点O的振动落后了2pn 的相位,于是点P的相位应是(w t-2pn )。故点P的振动应写为

                .          (7-56)

上式就是沿x轴正方向传播的平面简谐波的表示式,称为平面简谐波波函数。由wnT、l u诸量之间的关系,平面简谐波波函数还可以表示成另一些形式,如

                                     (7-57)

等,式中 称为波数,表示在2p米内所包含的完整波的数目。

    在简谐波波函数中,包含了两个自变量,即xt。当x一定时,就是对于波线上一个确定点,位移yt的余弦函数,式(7-56)表示了该确定点作简谐振动的情形。当t一定时,即对于某一确定瞬间,位移yx的余弦函数,式(7-56)表示了在该瞬间介质中各质点的位移分布。当选择一定的y值时,式(7-56)表示了xt的函数关系。例如,在t时刻,x处质点的位移为y ¢,经过了Dt时间,位移y ¢ 出现在x+Dx处,由式(7-56)可得

               ,

上式要成立,必定有

                            Dx = u Dt

这表示,振动状态y ¢ 以波速u沿波的传播方向移动。于是可以得出这样的结论:当xt都在变化时,式(7-56)表示整个波形以波速u沿波线传播,这就是行波。

    式(7-56)中x前的负号表示距离坐标原点越远的地方,质点振动的相位越落后,因而表示波是沿x轴正方向传播的。假如波是沿x轴负方向传播的,考察点P的振动相位比坐标原点的振动相位超前,式(7-56)中的负号应改为正号。式(7-57)也是如此。另外,上面在推导平面简谐波波函数时,为简便起见,假定坐标原点的初相位为零,而在一般情况下坐标原点的振动应写为

                       ,

这时,平面简谐波波函数中也必须考虑初相位j,如写为

                     .               (7-58)

    与简谐振动可以用复数表示一样,平面简谐波波函数也可以用复数来表示

                          ,

或者

                           ,                  (7-59)

该复数的实部才是大家关心的平面简谐波波函数。

       
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