例题 7-5  以y = 0.040 cos 2.5pt  m 的形式作简谐振动的波源,在某种介质中激发了平面简谐波,并以100 m×s-1的速率传播。(1) 写出此平面简谐波的波函数;(2) 求在波源起振后1.0 s、距波源20 m处质点的位移、速度和加速度。

    解  (1) 取波的传播方向为x轴正方向,波源所在处为坐标原点,这样,平面简谐波波函数的一般形式可写为

                            .

根据题意,振幅A = 0.040 m,角频率w = 2.5p  rad×s-1 ,波速u = 100  m×s-1 ,所以在该介质中平面简谐波的波函数为

                        .

(2) 在波源起振后1.0 s,波传播到了距波源

                     100 m×s-1 ´ 1.0 s = 100 m

处,距波源20 m处的质点已经发生了振动。x = 20 m 处质点的振动可表示为

         y = 0.040 cos 2.5p (t- 0.20) m = 0.040 cos (2.5p t - 0.50p) m .

在波源起振后1.0 s,该处质点的位移为

                    y = 0.040 cos 2.0p  m = 4.0´10-2  m ,

即最大位移,距离平衡位置0.040 m。

    该处质点的速度为

       .

由此可以看到,质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念,不能将它们混淆了。

    该处质点的加速度为

              

式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反。

    例题 7-6  有一列平面简谐波,坐标原点按照 y = A cos (w t+j) 的规律振动。已知A = 0.10  m,T = 0.50  s,l = 10  m,试求解以下问题:

    (1) 写出此平面简谐波的波函数;

    (2) 求波线上相距2.5  m的两点的相位差;

    (3) 假如t = 0时处于坐标原点的质点的振动位移为y0 = +0.050  m,且向平衡位置运动,求初相位并写出波函数。

    解  (1) 要写波函数,第一步是建立坐标系。既然坐标原点已经给定,则可以取过坐标原点的波线为x轴,x轴的指向与波线的方向一致。对于这样的选择,在波函数中x前的符号必定是负号。第二步就是求出坐标为x 的质点在任意时刻的位移。因为处于x的质点在任意时刻的相位都比处于坐标原点的质点的相位落后2px/l,根据已知条件,坐标原点在t时刻的相位为w t+j,所以在同一瞬间x点的相位必定为w t+j - 。这样,大家就得到了下面的波函数通式

             ,

其中A = 0.10  m,l = 10  m, ,代入上式,得

                    .

    (2) 因为波线上x点在任意时刻的相位都比坐标原点的相位落后2px/l,如一点的位置在x,另一点的位置在x + 2.5 m,它们分别比坐标原点的相位落后2px/l和2p (x + 2.5)/l 。所以,这两点的相位差为

                    .

    (3) 这一问的要求就是根据所给条件求出j,并将j值代入式(1)中。将t = 0和y = +0.050  m代入坐标原点的振动方程中,可得

                            0.050 = 0.10 cos j ,

于是

                         cosj = 0.50 ,  j = .

j 取正值还是取负值,或者两解都取,这要根据t = 0时刻处于坐标原点的质点的运动趋势来决定。已知条件告诉大家,初始时刻该质点的位移为正值,并向平衡位置运动,所以与这个质点的振动相对应的旋转矢量在初始时刻处于第一象限,应取 。于是波函数应写为

                     .

       
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