§7-6  波动方程和波的能量

    *一、一维波动方程

    为了从动力学角度研究波的传播规律,这里假设一列平面纵波沿横截面为S、密度为r 的均匀直棒无吸取地传播,取棒沿x轴,并将此波的波函数一般地表示为

                            .

              图 7-23

在棒上任取一棒元Dx,如图7-23中AB所示。当波尚未到时,截面A和截面B分别处于xx+Dx的位置。当波到达时,棒元所发生的形变是长变(或被拉伸,或被压缩),并且各处的长变不同,截面A处的位移为y,截面B处的位移为y+Dy,因而分别到达图中的A¢ B¢ 的位置。棒元若被拉伸,则两端面受到的弹性力分别为f1f2,如图7-23所示。于是可以列出棒元的运动方程

                      .                (7-60)

棒元原长为Dx,当波传到时,棒元的长变可写为(y+ Dy) -y =Dy,所以拉伸应变写为 ,当所取棒元无限缩小时,拉伸应变可写为 。正如前面所说,当波传到时,各处的拉伸应变是不同的,大家把x处的拉伸应变记为 。根据胡克定律,作用于棒元x处的弹性力f1的大小可以表示为

                        

式中Y是直棒材料的杨氏模量。大家把x+Dx处的拉伸应变记为 ,该处弹性力f2的大小则为

                        .

棒元所受合力为

            ,      (7-61)

因为棒元Dx很小,所以在上式中略去了Dx的高次方项。将式(7-61)代入式 (7-60),得

                         ,                   (7-62)

这就是纵波的波动方程。这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的,但适用于一般的固体弹性介质。

                图 7-24

    再让大家看一下横波的情形。能够产生和传播横波的弹性介质必定是固体,因为只有固体在发生剪切时能够产生剪应力。当横波沿横截面积为S、密度为r 的均匀直棒无吸取地传播时,直棒各处将发生剪切,并且不同位置上剪应变的量不同,因而产生或受到的剪应力也不同。图7-24画出了棒元 Dx发生剪切的示意图,由图可见,棒元的剪应变可表示为 。当所取棒元无限缩小时,剪应变可写为 x处的剪应变为 ,该处所受弹性力的大小应表示为

                        ,

式中G是直棒材料的剪切模量。同样,x+Dx处的剪应变为 ,该处所受弹性力的大小应表示为

                        .

于是棒元所受合力为

            .

根据牛顿第二定律,列出该棒元的运动方程

                       ,               (7-63)

                    .

整理后得

                           .                 (7-64)

上式就是横波的波动方程,它适用于能够传播横波的一切弹性介质。

    在推导波动方程(7-62)和(7-64)时,只是区别了波速不同的纵波和横波,至于方程(7-62)适用于何种纵波,方程(7-64)适用于何种横波,振幅多大、频率多高,均未涉及。所以,大家可以断定,各种可能的纵波波函数都是波动方程(7-62)的解,各种可能的横波波函数都是波动方程(7-64)的解。

    既然如此,平面简谐波波函数

                       ,

必定是波动方程(7-62)和(7-64)的解。先看一下平面简谐纵波的情况。将该波函数对时间t求二阶偏导数,得

                    ,

再将同一波函数对坐标x求二阶偏导数,得

                      .

将以上两式代入波动方程(7-62),即得

                           ,

考虑到w2 = k2 u2,于是就得到纵波波速u的表达式

                           .

这正是在§7-4中给出的纵波波速公式(7-51),这里从波动方程中得到了证明。

    用同样的方法可以从波动方程(7-64)中证明横波波速公式(7-50)。

    从上面的讨论中大家已经看到,在波动方程 (7-62) 和 (7-64)中, 项前的系数就是波速的平方,于是大家可以将波动方程(7-62)和(7-64)统一而写为

                          ,                 (7-65)

这就是波动方程的一般形式。

       
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