二、波的能量

    当波传播到介质中的某个质点上,这个质点将发生振动,因而具有了动能;同时由于该处介质发生弹性形变,因而也就具有了势能。原来静止的质点,动能和势能都为零,由于波的到来,质点发生振动,于是具有了一定的能量。此能量显然是来自波源。所以,大家可以说,波源的能量随着波传播到波所到达的各处。

    波源能量随波动的传播,可以用平面简谐纵波沿直棒传播为例来加以说明。为此仍然借助于图7-23所示棒元的情形来讨论。波尚未到达时,截面A和截面B分别处于xx+Dx的位置。当波到达时,截面A的位移为y,截面B的位移为y+Dy,因而分别到达图中A¢ B¢ 处。如果棒的密度为r,截面积为S,该棒元的质量为Dm = r SDx,它所具有的动能为

                     ,

式中v是波传到时在所考察的瞬间棒元的振动速度。如果棒中所传播的简谐波的波函数为

                        ,

则振动速度为

                     ,

于是棒元的动能可以表示为

                 .             (7-66)

    棒元的原长为Dx,当波传到时棒元的形变为 (y+Dy) - y = Dy,所以应变为

                           .

棒元由于形变而产生的弹性力的大小为

                     ,

式中k是把棒看作为弹簧时棒的劲度系数,并可表示为

                           .

棒元的势能可由下式表示

            .        (7-67)

根据波函数的表示式和波速 ,可以求得

         ,

将上式代入式(7-67),得

                   .           (7-68)

可见,势能的表示式与动能的表示式完全相同,都是时间的周期函数,并且大小相等,相位相同。这种情况与单个简谐振子的情况完全不同。

    当波传到棒元AB时,棒元的总机械能为

              .        (7-69)

由上式可见,在行波的传播过程中,介质中给定质点的总能量不是常量,而是随时间作周期性变化的变量。这表明,介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来自波源的能量,又不断把能量释放出去。在这方面波动与振动的情况是完全不同的,对于振动系统,总能量是恒定的,因而不传播能量。而振动能量的辐射,实际上是依靠波动把能量传播出去的。

    介质中单位体积的波动能量,称为波的能量密度,可以表示为

                .         (7-70)

显然,波的能量密度是随时间作周期性变化的,通常取其在一个周期内的平均值,这个平均值称为平均能量密度。因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值是1/2,所以波的平均能量密度可以表示为

                          .                    (7-71)

上式表示,波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。这个公式虽然是从平面简谐纵波在棒中的传播导出的,但是对于所有机械波都是适用的。

       
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