二、驻波

图 7-28

    大家可以在一根紧张的弦线上观察到驻波。如图7-28所示,将弦线的一端系于电动音叉的一臂上,弦线的另一端系一砝码,砝码通过定滑轮P对弦线提供一定的张力,刀口B的位置可以调节。当音叉振动时,在弦线上激发了自左向右传播的波,此波传播到固定点B时被反射,因而在弦线上又出现了一列自右向左传播的反射波。这两列波是相干波,必定发生干涉,于是在弦线上就形成了一种波形不随时间变化的波,这就是驻波。当驻波出现时,弦线上有些点始终静止不动,这些点称为波节;有些点的振幅始终最大,这些点称为波腹。

    在一般情况下,当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传播时,合成的波是一种波形不随时间变化的波,称为驻波。驻波实际上是波的干涉的一种特殊情况。图7-29表示两列同频率、同振幅的简谐波分别沿x轴正方向(以锁线表示)和沿x轴负方向(以虚线表示)传播,在不同时刻的波形以及它们的合成波(以实线表示),即驻波。由图可见,波节(用“·”表示)是始终不动的,整个合成波被波节分成若干段,每一段的中央是波腹(用“+”表示)。每一段上各点都以相同的相位振动,而振幅不同,波腹的振幅最大;相邻两段上各点的振动相位相反。由图中还可以看到,形成驻波以后,没有振动状态或相位的逐点传播,只有段与段之间的相位突变,与行波完全不同。

图 7-29

    取坐标系O-xy,如图7-29中所表示。这样,沿x轴正方向传播的波可以表示为

       .

沿x轴负方向传播的同频率 、同振幅的波,可以表示为

       .

根据叠加原理,合成的波为

      

          ,                             (7-81)

若把上式看作驻波方程,则括号内的项就是振幅。振幅应取绝对值,所以上式括号内的项取绝对值就是振幅。

    由式(7-81)可以求得波腹和波节的位置。波腹是振幅最大的位置,应满足下面的关系

                

所以,波腹位于

                                    (7-82)

波节是静止不动的位置,振幅为零,应满足下面的关系

            

所以,波节位于

                                (7-83)

由式(7-82)和式(7-83)可见,相邻波腹或相邻波节的距离都是半波长。

    让大家看一下驻波的能量。当驻波形成时,介质各点必定同时达到最大位移,又同时通过平衡位置。就让大家分析这两个状态的情形:当介质质点达到最大位移时,各质点的速度为零,即动能为零,而介质各处却出现了不同程度的形变,越靠近波节处形变量越大。所以在此状态下,驻波的能量以弹力势能的形式集中于波节附近。当介质质点通过平衡位置时,各处的形变都随之消失,弹力势能为零,而各质点的速度都达到了自身的最大值,以波腹处为最大。所以在这种状态下,驻波的能量以动能的形式集中于波腹附近。由这两种状态的情形可见一般。于是大家可以得出这样的结论:在驻波中,波腹附近的动能与波节附近的势能之间不断进行着互相转换和转移,却没有能量的定向传播。

    在图7-28中,反射点B是固定不动的,此处成为驻波的波节,这说明反射波与入射波在点B的相位是相反的。也就是说,入射波在此处转变为反射波产生了p的相位跃变,相当于再传播半个波长后再反射,所以在固定点B所产生的p相位跃变,通常称为半波损失。假如反射点B是自由的,此点将成为驻波的波腹,则反射波与入射波在此处是同相位的,因而不存在半波损失。

    那么反射点在什么情况下形成波节,在什么情况下形成波腹呢?原来这是由一个叫做波阻抗的量来决定的。介质的波阻抗Z定义为介质的密度r与该介质的波速u的乘积,即

                            Z = r u .                      (7-84)

可见,波阻抗是反映介质性质的物理量。如果波被波阻抗较小的介质反射回来,反射点形成波腹;如果波被波阻抗较大的介质反射回来,反射点形成波节。

图 7-30

    例题 7-8  在同一介质中有两个相干波源分别处于点P和点Q,假设由它们发出的平面简谐波沿从PQ连线的延长线方向传播。已知PQ = 3.0 m。两波源的频率n = 100 Hz,振幅相等,P的相位比Q的相位超前p/2,介质提供的波速u = 400 m×s-1 。在PQ连线延长线上Q一侧有一点SSQ的距离为r,试写出两波源在该点产生的分振动,并求它们的合成。

    解  可以取点P为坐标原点, 取过PQS的直线为x轴,方向向右,与波线的方向一致,如图7-30所示。根据题意,P的振动比Q的振动超前p/2,即jP - jQ = p/2。适当选择计时零点,可使jQ = 0,则jP = p/2,同时根据已知条件可以求得

                       w = 2pn = 200p     rad×s-1 .

设两波的振幅为A,于是可以写出P波源在点S的分振动

          ,

Q波源在点S的分振动为

             .

    下面让大家来分析这两个分振动的合成。显然,在波线上任何一点,这两个振动的合成都满足在同一条直线上两个同频率的简谐振动合成的条件。在一般情况下,合振动是一个同频率的简谐振动,合振动的振幅决定于两个分振动在该点的相位差。在点S两个分振动的相位差为

       ,

正好满足Dj = ±(2k+1)p的条件,点S的振动应是干涉相消,即静止不动。从Dj的表示式中大家还可以看到,Djr无关,即无论S处于Q右侧的什么位置上,Dj总是满足干涉相消的条件的。所以说,在x轴上Q以右的整个区域都满足干涉相消的条件,处于这个区域的所有介质质点实际上都是静止不动的。

       
XML 地图 | Sitemap 地图