习    题

    7-1  说明下列运动是否简谐振动:

题7-1图

      (1)  拍皮球时球的上下运动;

      (2)  一个小球沿着半径很大的光滑凹球面往返滚动,小球所经过的弧线很短,如题7-1图所示;

      (3)  竖直悬挂的轻弹簧的下端系一重物,把重物从静止位置拉下一段距离(在弹簧的弹性限度内),然后放手任其运动 (忽略阻力影响)。

    7-2  一个运动质点的位移与时间的关系为

                         m ,

其中x的单位是m,t的单位是s。试求:

    (1)  周期、角频率、频率、振幅和初相位;

    (2)  t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

    7-3  一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端,弹簧的另一端被固定。若弹簧受10  N的拉力,其伸长量为5.0  cm,求物体的振动周期。

题7-5图
题7-4图

    7-4  求题7-4图所示振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 k2

    7-5  求题7-5图所示振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 k2

    7-6  仿照式(7-15)的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

    7-7  与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动,振幅为A,位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t = 0时,小球的运动状态分别为

    (1)  x = -A

    (2)  过平衡位置,向x轴正方向运动;

    (3)  过x = 处,向x轴负方向运动;

    (4)  过x = 处,向x轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

    7-8  长度为l的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为l + s,并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将作上下运动。

    (1)  证明重物的运动是简谐振动;

    (2)  求此简谐振动的振幅、角频率和频率;

    (3)  若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。

    7-9  一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率n作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为m 0 ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

    7-10  一个物体放在一块水平木板上,此板在竖直方向上以频率n作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。

    7-11  一个系统作简谐振动,周期为T,初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等?

    7-12  质量为10 g的物体作简谐振动,其振幅为24 cm,周期为1.0 s,当t = 0时,位移为+24 cm,求:

    (1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向;

    (2)  由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间;

    (3)  在x = 12 cm处物体的速度、动能、势能和总能量。

    7-13  质量为0.10 kg的物体以2.0´10-2  m的振幅作简谐振动,其最大加速度为4.0  m×s-2 ,求:

    (1)  振动周期;

    (2)  通过平衡位置的动能;

    (3)  总能量。

    7-14  一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动: (式中x的单位是m,t的单位是s),求合振动的振幅和初相位。

    7-15  有两个在同一直线上的简谐振动: m和 m,试问:

    (1)  它们合振动的振幅和初相位各为多大?

    (2)  若另有一简谐振动 m,分别与上两个振动叠加,j为何值时,x1 + x3 的振幅为最大?j为何值时,x2 + x3 的振幅为最小?

    7-16  在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m和0.03 m,当它们的合振动振幅为0.06 m时,两个分振动的相位差为多大?

    7-17  一个质量为5.00 kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下,其振动周期为 ;在阻尼振动的情况下,其振动周期为 。求阻力系数。

    7-18  试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为

              ,

式中w 0 是振动系统的固有角频率,b是阻尼常量。

    7-19  波动与振动有何区别和联系?

    7-20  机械波形成的条件是什么?

    7-21  某一声波在空气中的波长为0.30 m,波速为340 m×s-1 。当它进入第二种介质后,波长变为0.81 m。求它在第二种介质中的波速。

    7-22  在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波,它们的波长是否可能相等?为什么?如果这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长是否可能相等?为什么?

    7-23  已知平面简谐波的角频率为w =15.2´102 rad×s-1,振幅为A =1.25´10-2 m,波长为l = 1.10 m,求波速u,并写出此波的波函数。

    7-24  一平面简谐波沿x轴的负方向行进,其振幅为1.00 cm,频率为550 Hz,波速为330 m×s-1 ,求波长,并写出此波的波函数。

    7-25  在平面简谐波传播的波线上有相距3.5 cm的AB两点,B点的相位比A点落后45° 。已知波速为15 cm×s-1 ,试求波的频率和波长。

   7-26  证明 可写成下列形式: ,以及

    7-27  波源作简谐振动,位移与时间的关系为 y = (4.00´10-3 ) cos 240p t  m,它所激发的波以30.0 m×s-1 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长,并写出波函数。

    7-28  为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大,而势能为零;在最大位移处动能为零,而势能最大?为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时,却是在平衡位置动能和势能同时达到最大值,在最大位移处又同时为零?

    7-29  沿绳子行进的横波波函数为 ,式中长度的单位是cm,时间的单位是s。试求:

    (1)  波的振幅、频率、传播速率和波长;

    (2)  绳上某质点的最大横向振动速率。

    7-30  证明公式

    7-31  用横波的波动方程 和纵波的波动方程 证明横波的波速和纵波的波速分别为

    7-32  在某温度下测得水中的声速为1.46´103 m×s-1 ,求水的体变模量。

    7-33  频率为300 Hz、波速为330  m×s-1的平面简谐声波在直径为16.0 cm的管道中传播,能流密度为10.0´10-3  J×s-1 ×m-2 。求:

    (1)  平均能量密度;

    (2)  最大能量密度;

    (3)  两相邻同相位波面之间的总能量。

    7-34  PQ是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源,其频率为n、波长为lPQ相距3l / 2。RPQ连线延长线上的任意一点,试求:

    (1)  自P发出的波在R点引起的振动与自Q发出的波在R点引起的振动的相位差;

    (2)  R点的合振动的振幅。

    7-35  弦线上的驻波相邻波节的距离为65 cm,弦的振动频率为2.3´102 Hz,求波的传播速率u和波长l

    7-36  在某一参考系中,波源和观察者都是静止的,但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应,问接收到的波长和频率如何变化?

    7-37  火车汽笛的频率为n,当火车以速率V通过车站上的静止观察者身边

时,观察者所接收到的笛声频率的变化为多大?已知声速为u

    7-38  道路交通管理条例中规定,在城市街道上小型客车的行驶速度不得超过70 km×s-1 。为了检查过往车辆的行驶速度,某岗亭上装置了超声波探测器,它能够发射出频率为100 kHz的超声波探测讯号。有一辆迎面驶来的小型客车,探测器所接收到的从车辆反射回来的超声波频率为112 kHz。已知此时空气中的声速为340 m×s-1 ,试问该车辆的是否违章?

参考答案

       
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