[概念阐释]

    一、简谐振动(§7-1)

    1. 简谐振动的基本特征

    (1)  简谐振动的基本特征可以用以下三个方面来表示。

    a)  质点的运动是在大小与位移成正比、方向与位移方向相反的力的作用下发生的一种周期性运动,这种力也称为线性回复力,可以表示为

                             ,

其中k为常数,x为物体相对于平衡位置的位移。

    既然力的形式已经确定,参与简谐振动的质点的加速度也就确定了。根据牛顿第二定律,应有

                            ,

所以,质点的加速度可以表示为

                             .

可见,参与简谐振动质点的加速度的大小与位移成正比,方向与位移方向相反,即总是指向平衡位置。

    b)  质点运动的动力学方程具有下面的微分方程的形式:

                            ,

并且w是决定于振动系统自身性质的常量。

    c)  质点的位移随时间的变化,遵从余弦(或正弦)函数的规律,以平衡位置为坐标原点,此函数关系可表示为

                          .

    以上三种说法在力学范围内是等效的,是同一物理本质的不同描述,物体只要在形式为F = -kx的力的作用下运动,其位移一定满足b)中所说的微分方程,而这个微分方程的解一定是时间的余弦(或正弦)函数。

    (2)  对简谐振动基本特征的三种描述中的任何一种,都可以作为简谐振动的定义。但是,由于振动的概念已经扩展到物理学的各个领域中,一个物理量在某定值附近作往返变化的过程,都称为振动。在这种情况下,第一种描述不再有效。所以,第二种描述具有更加普遍的意义,大家可以用这种描述对简谐振动作一普遍定义:任何物理量x的变化规律满足方程式

                          ,

并且w是决定于系统自身的常量,则该物理量作简谐振动。

    (3)  读者应注意,判断一物体的运动是否为简谐运动,必须以简谐振动的基本特征为依据。有的读者认为,只要物体在某一位置附近作周期性运动,就是简谐振动,这是不对的。因为不是任何一种周期性运动都具有上述简谐振动的基本特征的。例如,拍皮球时,皮球的运动就是在某位置上、下作周期性运动,是一种振动,但不是简谐振动。   

    2. 描述简谐振动的特征量

    振幅、频率(或周期)和相位是确定振动状态的三个重要物理量,常称它们为描述或确定简谐振动的特征量。

    (1)  振幅:是参与振动的物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离,或最大位移的绝对值。振幅是描述振动物体运动范围和运动幅度的物理量。在一给定的简谐振动中,振幅是不随时间变化的,所以简谐振动是一种等幅振动。

    (2)  角频率、频率和周期:这里所说的角频率是固有角频率w。所谓“固有”,就是振动系统自身所特有的。固有角频率决定于振动系统自身的性质,这种性质包括两方面,一方面是系统所受线性回复力的性质,另一方面是系统的惯性。第一个方面的性质使运动趋向于平衡位置,第二个方面的性质使系统到达平衡位置不会马上停止运动,于是系统就振动起来了。例如,弹簧振子的固有角频率为w = (k/m)1/2,其中k为弹簧的劲度系数,决定了线性回复力(-kx)m为物体的质量,是系统惯性的量度。它们都是振动系统自身的物理量,与外界因素无关。

    角频率w与频率n和周期T的关系分别为

                             

                              .

因此简谐振动的位移与时间的关系可以写为

                         ,

                         .

    频率是单位时间内振动系统所作完全振动的次数,周期是系统完成一次完全振动所需的时间,是两个相邻的相同振动状态之间的时间间隔。周期与频率显然存在下面的关系为

                               .

    (3)  相位和初相位:在简谐振动中,称为振动的相位,j 称为初相位。相位是一个十分抽象而又十分重要的概念,希翼读者弄清其物理意义。对此,建议读者注意以下几点。

    a)  从相位的定义中可以看到,相位是时间的线性函数,对应于每一时刻,相位F有确定的值,因而cosF sinF 也都有确定的值。

    b)  从位移x和速度v的表示式中可以看到,当振幅A和角频率w 确定之后,振动物体的位移和速度完全由相位来决定。这就是说,相位决定了振动物体在任意时刻的运动状态,而初相位j 决定了振动物体在初始时刻(t = 0)的运动状态。

    c)  在振幅A和角频率w 不知道的情况下。尽管不能求得位移和速度的数值,但是可以通过相位得出位移和速度的变化趋势。

    d)  可以通过相位来对两个同频率的简谐振动进行比较,判断它们的步调是否相同,若不同,则可判断哪个超前,哪个落后,以及超前或落后多少(称为相位差)。而这一点,有时比确定位移和速度的具体数值更为重要。

    若两个振动的相位差(F1 -F2 ) = 02p,则说这两个简谐振动相位相同;

    若两个振动的相位差(F1 -F2 ) = p p 的奇数倍,则说这两个简谐振动相位相反;

    若两个振动的相位差处于范围p >   (F1 -F2 )   > 0,则说相位F1超前于相位F2,或者说,第一个简谐振动的相位超前于第二个简谐振动的相位;

    若两个振动的相位差处于范围2p >    (F1 -F2 )   > 0,则说相位F1落后于相位F2,或者说,第一个简谐振动的相位落后于第二个简谐振动的相位;

      (F1 -F2 ) > 2p,则应先减去2p,再根据余下的数值判断哪个相位超前,哪个相位落后。

    从以上的讨论中大家已经清楚,当一个简谐振动的三个特征量(振幅A、角频率w 和相位)确定之后,这个简谐振动也就完全确定了。

    (4)  大家已经知道固有角频率w是由振动系统自身的性质所决定的,相位是时间的线性函数,振幅A和初相位j 则是由振动的初始条件所决定。

    3. 简谐振动的矢量图解法和复数解法

    (1)  对简谐振动的描述¾¾矢量图解法

    简谐振动可以用旋转矢量来表示。对于这种比较熟悉的方法,应注意以下几点。

    a)  各物理量的对应关系

    旋转矢量的长度与振幅A相对应,矢量的旋转角速度与振动的固有角频率w相对应,旋转矢量的角位置与振动相位相对应,旋转矢量的初始角位置与振动初相位 j 相对应。在这种对应情况下,旋转矢量端点在x轴上的投影随时间的变化就是旋转矢量所代表的简谐振动

    b)  矢量旋转所围绕的点是坐标原点,又是简谐振动的平衡位置。

    c)  旋转矢量只是用来描述简谐振动的一种方法或工具,不能把这个代表矢量的旋转误认为是简谐振动。

    d)  熟练掌握这种方法的意义不仅在于描述简谐振动本身,而且对于两个简谐振动的合成、对于简谐交流电的研究以及对于光的衍射强度的分布的研究等,都是很重要的。

    (2)  对简谐振动的描述¾¾振动曲线法

    简谐振动也可以用振动曲线来表示。以位移x为纵坐标、以时间t为横坐标,所描绘的振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的关系曲线,称为振动曲线。这种曲线十分直观地表示了作简谐振动物体的位移随时间的变化情况。

    同样也可以用v ~ t曲线和a ~ t曲线,直观地表示出作简谐振动物体的速度和加速度随时间的变化情况。

    不过有的读者常会把振动曲线误认为是振动物体的运动轨迹,这是必须注意的。作简谐振动的物体,始终沿着一条直线(x)运动,而不可能沿余弦(或正弦)线行进。

    (3)  对简谐振动的描述¾¾复数解法

    简谐振动可以用复数来代表和进行计算,原因是:

    a)  简谐振动的表达式

                        

与复数

               

的实部的表达式是完全相同的;

    b)  简谐振动的振幅A与复数的模相对应,简谐振动的相位(w t + j)与复数的辐角相对应;

    c)  在复数的运算过程中,模的运算和辐角的运算是分别进行的,两种运算不相混;复数实部的运算和复数虚部的运算也是分别进行的,两种运算也不相混。

    所以可以用一个复数来代表一个简谐振动,之所以说“代表”,是因为此复数的实部才是简谐振动本身。

    4. 简谐振动的能量

    (1)  对于弹簧振子这样的振动系统,线性回复力是弹性力,属于保守力,所以振动系统的总机械能是守恒的。振动的过程,就是动能与势能相互转换的过程。

    (2)  弹簧振子的动能和势能分别按正弦的平方和余弦的平方随时间变化,而总机械能却是恒定不变的。

    (3)  弹簧振子的总机械能正比于振幅的平方,即

                       .

这是一个重要结论。如果知道了简谐振动的总机械能E,则可根据下式确定振幅:

                           .

       
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