二、简谐振动的叠加(§7-2)

    1. 同一直线上两个同频率简谐振动的合成

    在同一直线上的两个频率相同的简谐振动合成的情况,不仅在机械振动和机械波中常遇到,在交流电和波动光学中也经常使用。读者可以把下面几点作为掌握这一问题的关键。

    (1)  两个分振动和它们的合振动在旋转矢量图上是这样一种图像:以代表两个分振动的旋转矢量A1A2为邻边构成的平行四边形,绕其一个顶点即坐标原点O以恒定的角速度w沿逆时针方向旋转。通过O点的对角线所表示的矢量A,就是代表合振动的旋转矢量,正如教材第145页中图7-5所表示的那样。由于两个分振动频率相同,代表它们的两个旋转矢量A1A2之间的夹角q  = (w t + j2) - (w t + j1) = j2 - j1,只决定于初相位之差,不随时间变化,矢量A的长度也必定不随时间变化,并以与分振动同样的角速度w 绕原点O沿逆时针方向旋转。

    (2)  合振动必定是一个与分振动同频率的简谐振动,其振幅A和初相位j 分别由公式(7-17)(7-18)所表示。读者应该能够用几何关系推导出这两个公式。

    (3)  应特别注意的两种特殊情况:

    a)  DF = j2 - j1 = ±2kp 时,振动互相加强,合振动的振幅为(A1 + A2 )

    b)  DF = j2 - j1 = ± (2k + 1)p 时,振动互相减弱,或抵消,合振动的振幅为|A1 - A2 |

    而在一般情况下,合振动的振幅处于下面的范围:|A1 - A2 | < A < (A1 + A2 )

    2. 同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成

    当处于同一直线上的两个频率相近的简谐振动合成时,合振动的振幅会时而加强,时而减弱,这一现象就称为拍。

    (1)  以两个代表分振动的旋转矢量A1A2为邻边构成的平行四边形,形状不再是固定的了,而是在随时间缓慢的变化,合矢量A的长度也在随时间变化,变化范围在(A1 + A2 )|A1 - A2 |之间。

    (2)  拍频就等于这个旋转的平行四边形每秒钟内出现同样形状的次数,显然为

                              .

    3. 两个互相垂直的简谐振动的合成

    (1)  频率相同的两个简谐振动的合成。合振动的轨迹方程为

                ,

这是椭圆方程。两个振动的相位差

                

决定着椭圆的以下三个性质:

    a)  椭圆的具体形状:

    DF = b -a = 0 p 时,椭圆退化为直线;

    DF = b -a = ±p /2时,为以坐标轴为主轴的正椭圆;

    DF = b -a 为其他数值时,为任意形状的椭圆,教材第151页图7-12所画的是其中的一部分。

    b)  参与合振动的质点沿椭圆轨迹的运动方向:

    0 < DF < p 时,质点沿顺时针方向运动;

    p < DF < 2p -p < DF < 0时,质点沿逆时针方向运动。

    c)  DF是与时间无关的常量,则椭圆的形状是确定的,不随时间变化;若DF是时间的函数,则椭圆的形状随时间而变化。在这里,DF = b -a是常量,所以,表示合振动的椭圆是确定的,不随时间变化。

7-1*

    (2)  频率相近的两个简谐振动的合成。这时,由于

         

是时间的函数,所以,椭圆的形状随时间而变化。

    (3)  频率相差较大但有简单整数比关系的两个简谐振动的合成。这时合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线,即利萨如图形。

    (4)  频率之比为无理数的两个简谐振动的合成。这时合成的运动不会重复已走过的路径,它的轨迹将布满由振幅所限定的矩形面积内,如图7-1所示。

    4. 振动的分解

    (1)  傅里叶级数理论为一个周期性振动可以分解为频率不同、振幅各异的简谐振动的叠加,提供了理论基础或理论保证。

    (2)  应注意的是大家这里所讨论的是周期性振动的分解,所得到的频谱是如教材中图7-16所示的、间距等于基频或基频整数倍的分离的谱线,这种频谱称为离散谱。这就是说,周期性振动的频谱是离散谱。

    由此大家可以推断,假如振动是非周期性的(如一个单脉冲),周期趋于无限大,基频趋于零,谱线的间距趋于零,谱线不再是分离的而是连续的,这种频谱称为连续谱。所以,非周期性振动的频谱必定是连续谱。

       
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