三、阻尼振动、受迫振动和共振 (§7-3)

    1. 阻尼振动

    阻尼振动是振幅随时间不断减小的振动。读者在理解阻尼振动时应注意以下几点。

    (1)  阻尼振动振幅衰减的原因主要有两种,一是存在像摩擦、黏性等各种阻力,二是存在能量的辐射。这两种原因都使振动能量不断地减小,由于振动能量与振幅的平方成正比,所以随着振动能量的减小,振幅将衰减。这两种使振动能量减小的方式,都可以表示为振动系统受到某种阻力的作用。而阻力是振动速度的函数,在一级近似下可以认为阻力与振动速度成正比。

    (2)  阻尼振动遵从的方程式是

                       .  

与简谐振动所遵从的方程式,即式(7-3)相比,增加了一项与物体的振动速度 dx /dt 有关的项2b dx/dt。这是由于象黏性阻力这样的耗散力是与速度成正比的,因而由这种力引起的振动物体的加速度也与速度成正比。

    这个方程的解的形式与b相对于w 0的大小有关:

    a)  弱阻尼,即 b 2 <w02:方程的解为

                        .

大家在本节所讨论的阻尼振动,正是这种情形。

    b)  过阻尼,即 b 2w02:方程的解为

        .

式中C1C2是积分常量,应由初始条件确定。由于阻尼足够大,需经相当长的时间才能到达平衡位置,如教材第154页图7-17中曲线b所示。    

    c)  临界阻尼,即 b 2 = w02:方程的解为

                         .

式中c1c2也是积分常量。由上式可以看到,经过1/b 时间,到达了距平衡位置的距离为最大距离的1/e » 37 %处。

    (3)  阻尼振动是不严格的周期运动,也可称为准周期性运动。为了表示运动重复性的特点,而定义阻尼振动的周期为

                        .

可见,与简谐振动相比,阻尼振动由于阻尼的存在,振动变慢了,周期变长了。

    2. 受迫振动

    (1)  受迫振动是在周期性外力作用下发生的振动。从实质上说,振动系统的能量由于阻尼的存在而减小,振动也随着衰减,直至消失。外界向振动系统提供能量,振动得以维持,当外界提供的能量等于由阻尼所引起的能量损失时,振动就达到了稳定状态。

    (2)  简谐驱动力所引起的受迫振动遵从下面的方程式:

                     .

此方程式的解为

                  .

经足够长的时间后,振动达到稳定,上式变为

                        

可见,稳定的受迫振动是与简谐驱动力同频率的简谐振动

    (3)  其中振幅为

                     .

可见,受迫振动的振幅不仅与振动系统自身的性质(w 0体现)有关,也与驱动力的振幅和频率有关。

    3. 共振

    (1)  由达到稳定状态的受迫振动振幅的表达式可以看到,当改变驱动力的频率w ¢ 时,受迫振动的振幅也随着改变,当w ¢ 接近w 0时,振幅将达到极大值,共振就发生了。这时驱动力的角频率w ¢就是共振角频率

                           ;

这时振幅也达到了最大值

                           .

    (2)  由以上两式可以得出:

    a)  阻尼常量b越小,共振角频率w r越接近系统的固有角频率w 0,共振时振幅的峰值A r也越大;当阻尼常量b ® 0时,则w r ®w 0A r ® ¥

    b)  若要增强共振效果,就应减小阻尼常量b,若要抑制共振效果,就必须增大阻尼常量b。这一点在实践中极为重要。

    (3)  共振现象是普遍存在的,无论是在力学,还是在声学、光学、电磁学、无线电电子学、原子物理学、原子核物理学以及在工程技术领域中,都会遇到,而且常常成为研究的重要课题,是探索和认识物质世界的有力手段。

       
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