五、简谐波(§7-5)

    1. 平面简谐波波函数的形式

    平面简谐波的波函数可以表示为

           .

还有式(7-57)所写的几种形式,读者应该熟记。在记忆时,可牢记其中的一种常用形式,再通过ulwnTk之间的关系,其他各种形式就能很容易地推导出来了。除此之外,读者还应该掌握以下几点。

    (1)  波函数描述了参与波动的介质各质点的振动情况,要写出波函数,首先必须选择坐标系。可以选择任何一条波线为x轴,波的传播方向与x轴的正方向一致。y轴表示x轴上各质点相对于各自平衡位置的位移。坐标原点不一定选在波源上,原则上可选择在波线上的任何一点;不过,坐标原点选在不同的位置上,波函数是有差异的,差异表现在初相位不同。通常可选取在t = 0时位移为正向最大的质点为坐标原点,这时初相位j = 0,大家上面所写出的波函数的坐标原点都是这样选择的。否则,在波函数中应包含初相位j,正如下面所写的那样。

    (2)  坐标原点O的振动无疑可表示为

                         .

O点的振动传播x距离到达P点所需的时间为x / u,在这段时间内O点振动了n (x / u)次,每振动一次相位改变2p,所以在这段时间内O点的振动相位共改变了2pn (x / u),也就是说,P点的振动比O点的振动落后2pn (x / u)的相位。于是P点的相位应为[w t -2pn (x / u) + j],故P点的振动应写为

               .

    (3)  在坐标为x处的质点,振动相位落后于坐标原点,落后的相位为,波函数中x前的符号为负。这就是说,如果x轴的取向与波线的方向一致,考查点的振动相位比坐标原点落后,那么波函数中x前应取负号。如果x轴的取向与波线的方向相反,考查点的振动相位比坐标原点超前,那么波函数中x前应取正号。

    (4)  在平面简谐波的波函数中,振动从O点传播到P点振幅保持不变。这显然是一种理想情况。这种理想情况,表现在不考虑介质对振动的阻尼作用,也不考虑介质对振动能量的吸取。

    假如所讨论的波是理想情况下的球面波,振幅随着传播距离的增大而减小,应表示为

                          .

其中A是波传播到单位距离处的振幅。

    2. 波函数的物理意义

    (1)  关于波函数的物理意义,教材中作了明确的阐述,读者可仔细阅读那段文字。当x给定、t为变量时,波函数表示了该给定点的振动;当t给定、x为变量时,波函数表示了在该给定瞬间,位移在介质中各处的分布;当xt都是变量时,波函数表示了波形在介质中的传播情形,即行波。

    (2)  尽管平面简谐波波函数和简谐振动的位移-时间关系都是振幅与某个量的余弦函数的乘积,但是两者之间存在本质上的差异。

    波函数描述了介质整体的运动状态,它是xt两个变量的函数,因此它不仅给出了任意给定点的振动,给出了任意时刻振动位移的分布,而且还反映了振动状态在整个介质中的传播情况。

    而简谐振动的位移-时间关系,仅是t的函数,只反映了特定振动质点的振动状态。所以,读者不仅要在相似的表示形式上注意到它们的差别,更重要的是应该看到这种差别各自所代表的物理涵义。

       
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