六、波动方程和波的能量(§7-6)

    1. 一维波动方程

    大家得到波动方程的一般形式为

                           ,

对于纵波和横波,式中的波速分别为

                          .

    (1)  波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的,一般来说,它适用于各向同性的均匀介质。

    (2)  波动方程等号两边分别是未知量y对变量t和对变量x的二阶偏导数的正比函数,所以该波动方程是线性的。之所以会得到线性方程,这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的,而这两个定律的数学表达式都是线性方程。

    (3)  波动方程是线性方程,则从理论上保证了波动满足叠加原理。如果y1y2都是波动方程的解,即以下两式成立

                           ,

                          .

将以上两式相加,得

                      ,  

这表示,也是波动方程的解。是什么?就是两列波的叠加。所以说,线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。

    (4)  胡克定律表示,在比例极限以内,应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变,这就是说,满足上述波动方程的波,一定是振幅很小的波,当这样的波传来时,所引起的介质各部分的形变也是很小的。

    (5)  教材中在得到波动方程之后,将平面简谐波波函数代入其中,得到了与公式(7-50)(7-51)相同的波速表达式,这表明平面简谐波波函数是波动方程的解。

    但在波动方程的推导过程中,只讲明了两点,一是平面波,二是纵波或是横波,但未涉及波的频率的高低和振幅的大小。既然平面简谐波波函数是波动方程的解,由于波动方程是线性方程,所以不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合也一定是波动方程的解。那么不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合是什么波呢?根据傅里叶理论,这种线性组合是任意的周期性波(有限项组合)或任意的非周期性波(无限项组合)

    于是,大家可以说,任意平面横波和任意平面纵波都是上述波动方程的解,并且只要它们在传播过程中不改变波型,同一种介质传播的波都有相同的波速。

    2. 波的能量

    大家曾经得到参与简谐波波动的棒元(介质体元)的总机械能为

               .

这与振动的情形是不同的,对于简谐振动,系统的总机械能是恒定的。

    (1)  参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规律在随时间变化:

                .

当某介质体元通过平衡位置时,形变和速度都达到最大,故势能和动能也都出现最大值;当达到最大位移时,形变和速度都为零,故势能和动能也都出现零值。

    (2)  关于棒元达到平衡位置时形变最大,而在最大位移处形变最小可以从下面的分析中看到。

    棒元的应变,在教材中表示为

        ,   (1)

与平面简谐波波函数

                                               (2)

相比较,应变比位移落后p /2相位。在平衡位置处,位移y为零,由式(2)

                          ,

将上式代入式(1),可得应变en为最大值。而在最大位移处,由式(2)

                           ,

将上式代入式(1),可得应变en为零。

    (3)  还有一点需要指出的,这就是势能属于谁的问题。以前大家曾经说过,势能是属于相互作用着的物体所共有的,也就是属于系统所具有的。例如,受重力作用的物体的重力势能是物体和地球所共有的,弹簧振子的弹力势能是属于弹簧上的物体和弹簧所共有的,等等。

    对于波动来说情况变得复杂一些了。在波动中介质体元的势能是由介质体元自身的形变引起的,所以这份势能就应该属于形变体元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互作用着的各个物体,或者说,形变体元自身就是一个由相互作用的物体所组成的系统。

    3. 波的能流和能流密度

    前面大家说过,波的传播过程就是能量的传播过程。能量随波动而传播,就是能量的流动,于是引入了平均能流和能流密度。它们都与振幅平方和频率平方的乘积成正比。例如,超声波比声波频率更高,当两者振幅相同时超声波具有更大的能量。

       
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