[例题分析]

    例题7-1  一立方体木块浮于静止的水面上,其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其稍稍压下,使浸在水中部分的高度变为b ( >h )。放手后木块将在水面上下作振动。试证明木块的振动是简谐振动;并求振动的振幅和周期。

      要证明某一振动是否为简谐振动,就要看该振动是否符合简谐振动的基本特征。而简谐振动的基本特征大家曾用过三种方法来描述。在这个问题中,最为简便的是考察维持木块振动的力是否具有线性回复力的特点,即力的大小是否与位移成正比,力的方向是否与位移方向相反。

    设木块的边长为l,密度为r 1,水的密度为r 2。木块在平衡位置处静止时,应满足

                          ,

7-2

可化为

              .           (1)

用手指将木块压下,浸在水中部分的高度为b,这时木块受到的浮力大于其重力,两者的合力向上,松手后木块将向上作加速运动。当到达平衡位置时,虽然合力变为零,但由于惯性,木块将继续向上运动。这样,随着木块的上升,浮力逐渐减小,重力与浮力的合力改变了方向,当速度减小至零时,木块开始向下运动。

    取木块静止时质心的位置为坐标原点Ox轴的正方向沿竖直向下,如图7-2所示。在某时刻,木块的质心向下移至x处,木块所受合力为

                        .                  (2)

将式(1)代入式(2),得

                          .

式中k = r 2l2g,负号表示力F的方向与位移x的方向相反。可见,F具有线性回复力的特点,木块在水面的上下振动是简谐振动。

    由于振动的固有角频率为

                         ,

所以振动周期为

                           ,

振幅为

                             .

如果从放手时开始计时,初相位j = 0,那么木块的振动可以表示为

                          .

    例题7-2  平面简谐波的波函数为

                       ,

试通过选择坐标原点和改变计时零点两种方法,将波函数化为最简形式。

     

    (1)  选择坐标原点

    在未改变坐标原点时,对于平衡位置处于x的质点在t时刻的相位为

                           ,

    重新选择坐标原点后,该质点的平衡位置的坐标变为x ¢,在t时刻的相位变为

                            ,

    因为这是在两个坐标系中对同一质点在同一时刻运动状态的描述,所以应有

                       ,

由此解得两个坐标系的关系为

                        .

这表示,新选择的坐标原点应位于沿x轴正方向移动l / 6的地方。在新的坐标系中,波函数为

                         .

    (2)  改变计时零点

    相对于原计时零点的某一时刻为t,而相对于改变后的计时零点,这同一时刻变成了t ¢,并且坐标原点的初相位变为零,则

                        ,

由此解得

                          .

这表示,新改变的计时零点相对于原计时零点应向前推移T / 6 。改变了计时零点后,波函数为

                          .

    例题7-3  有一平面简谐波,坐标原点按照规律振动。              

已知A = 0.10 mT = 0.50 sl = 10 m,试求解以下问题:

    (1)  写出此平面简谐波的波函数;

    (2)  求波线上相距2.5 m的两点的相位差;

    (3)  假如t = 0时处于原点的质点的振动位移为y0 = + 0.050 m,且向平衡位置运动,求初相位并写出波函数。

     

    (1)  要写波函数,第一步是建立坐标系。既然坐标原点已经给定,则可取过坐标原点的波线为x轴,x轴的指向与波线的方向一致。对于这样的选择,在波函数中x前的符号必定是负号。第二步就是求出坐标为x的质点在任意时刻的位移。因为处于x的质点在任意时刻的相位都比处于坐标原点的质点的相位落后2px/l。根据已知条件,坐标原点在t时刻的相位为w t + j

所以在同一瞬间x点的相位必定为w t + j - 2px/l。这样大家就得到了下面的波函数通式:

               .

其中A = 0.10 ml = 10 mn = 1/T = 2.0 s,代入上式,得

                    .               (1)

    (2)  波线上x点在任意时刻的相位都比坐标原点的相位落后2px /l,如果一点的位置在x,另一点的位置在x + 2.5 m,它们分别比坐标原点的相位落后2px/l2p(x + 2.5 ) /l,所以这两点的相位差为

                   .

    (3)  这一问的要求就是根据所给条件求出j,并将j 值代入式(1)中。将t = 0y = + 0.050 m代入坐标原点的位移与时间关系式中,得

                           ,

所以

                        j = ±p / 3 .

j是取正值还是取负,或者两者都取,要根据t = 0时刻质点的运动趋势来决定。已知条件告诉大家,初始时刻质点的位移为正值,并且向平衡位置运动,所以与这个质点振动相对应的旋转矢量在初始时刻处于第一象限,应取j = +p / 3,于是波函数应写为

                    .

       
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