[习题解答]

    7-2  一个运动质点的位移与时间的关系为

                         m ,

其中x的单位是mt的单位是s。试求:

    (1)  周期、角频率、频率、振幅和初相位;

    (2)  t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

     

    (1)  将运动质点的位移与时间的关系与简谐振动的一般形式

                          

相比较,可以得到

    角频率 rad×s-1,频率,周期,振幅,初相位

    (2)  t = 2 s时质点的位移

    .

    t = 2 s时质点的速度

            .

    t = 2 s时质点的加速度

                  .

    7-3  一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端,弹簧的另一端被固定。若弹簧受10  N的拉力,其伸长量为5.0  cm,求物体的振动周期。

      根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数

                 ,

于是,振动系统的角频率为

                 .

所以,物体的振动周期为

                            .

    7-4  求图7-3所示振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 k2

      以平衡位置O为坐标原点,建立如图7-3所示的坐标系。若物体向右移动了x,则它所受的力为

7-3

        .

根据牛顿第二定律,应有

          ,

改写为

                             .

所以

                             ,

                          .

7-4

    7-5  求图7-4所示振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 k2

      以平衡位置O为坐标原点,建立如图7-4所示的坐标系。当物体由原点O向右移动x时,弹簧1伸长了x1 ,弹簧2伸长了x2 ,并有

               .

物体所受的力为

                   ,

式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得

                       ,   .

于是,物体所受的力可另写为

                      ,

由上式可得

                            ,

所以

                             .

装置的振动角频率为

                           ,

装置的振动频率为

                        .

    7-6  仿照式(7-15)的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

      由教材中的例题7-3,单摆的角位移q 与时间t的关系可以写为

                          q = q 0 cos (w t+j) ,

单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能

             ,

另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能

                 .

单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即

       ,

因为, 所以上式可以化为

                       .

于是就得到

                       ,

由此可以求得单摆系统中物体的速度为

         .

这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

    7-7  与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动,振幅为A,位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t = 0时,小球的运动状态分别为

    (1)  x = -A

    (2)  过平衡位置,向x轴正方向运动;

    (3)  x =处,向x轴负方向运动;

    (4)  x =处,向x轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

     

    (1)  t = 0x = -A代入

                           ,

                             ,

                        .

    (2)  根据以及,可以得到

                              ,

                             .

由上两式可以解得

                                .

    (3)  v < 0可以得到

                               ,

                              .

由上两式可以解得

                                 .

    (4)  v > 0可以得到

                              ,

                              .

由上两式可以解得

                                 .

    7-8  长度为l的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为l + s,并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将作上下运动。

7-5

    (1)  证明重物的运动是简谐振动;

    (2)  求此简谐振动的振幅、角频率和频率;

    (3)  若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系(向下为正)

     

    (1)  以悬挂了重物后的平衡位置O为坐标原点,建立如图7-5所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点O时重力与弹力相平衡,即

                      ,

                     .                    (1)

    当重物向下移动x时,弹簧的形变量为(s + x ),物体的运动方程可以写为

                            ,

将式(1)代入上式,得

                               ,

                               .                         (2)

重物的运动满足这样的微分方程式,所以必定是简谐振动。

    (2) 

                                ,                              (3)

方程式(2)的解为

                            .                         (4)

    振幅可以根据初始条件求得:当t = 0 时,x0 = -sv0 = 0,于是

                           .

角频率和频率可以根据式(3)求得:

                             ,

                         .

    (3)  位移与时间的关系:由, 以及当t = 0 时,x0 = -sv0 = 0,根据式(4),可以得到

                              ,

                                .

由以上两式可解得

                                 .

故有

                           .

    7-9  一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率n作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为m 0 ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

      设物体的质量为m,以平衡位置O为坐标原点建立如图7-6所示的坐标系。

7-6

    由于物体与木板之间存在静摩擦力,使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为n的简谐振动。

    振动系统的加速度为

              ,

可见,加速度a的大小正比与振幅A,在最大位移处加速度为最大值

                              .

最大加速度amax对应于最大振幅Amax,而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力,物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式

                       ,

                              .

由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅,为

                     .

7-7

    7-10  一个物体放在一块水平木板上,此板在竖直方向上以频率n作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。

      设物体的质量为m,以平衡位置O为坐标原点建立如图7-7所示的坐标系。物体所受的力,有向下的重力mg和向上的支撑力N,可以列出下面的运动方程式:

                      .               (1)

由简谐振动

                     ,

可以求得加速度

                   .

当振动达到最高点时,木板的加速度的大小也达到最大值,为

                               ,                               (2)

负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板,物体就能够跟随木板一起上下振动。将式(2)代入式(1),得

                             .                      (3)

物体不脱离木板的条件是

                                  ,

取其最小值,并代入式(3),得

                               ,

于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅,为

                            .

    7-11  一个系统作简谐振动,周期为T,初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等?

      初相位为零的简谐振动可以表示为

                               .

振动系统的动能和势能可分别表示为

                        ,

                          .

因为

                                 ,

所以势能可以表示为

                            .

时,应有

                              ,

                               ,

                            .

由上式解得

                          

代入上式,得

                   

                         

    7-12  质量为10 g的物体作简谐振动,其振幅为24 cm,周期为1.0 s,当t = 0时,位移为+24 cm,求:

    (1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向;

    (2)  由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间;

    (3)  x = 12 cm处物体的速度、动能、势能和总能量。

      首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为

                            .

, , , 各量代入上式,同时,根据,求得, ,于是得到简谐振动的具体形式为

                           .

    (1)  物体的位置为

                 ,

所受力的大小为

                       ,

方向沿x轴的反方向。

    (2)  由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间应满足

                             ,

                              ,

题目要求最少时间,上式中应取正号。所以

                          .

    (3)  x = 12 cm

                              ,

                            .

物体的速度为

              .

物体的动能为

                        .

物体的势能为

                    ,

所以物体的总能量

               .

    7-13  质量为0.10 kg的物体以2.0´10-m的振幅作简谐振动,其最大加速度为4.0  m×s-2 ,求:

    (1)  振动周期;

    (2)  通过平衡位置的动能;

    (3)  总能量。

     

    (1)  最大加速度与角频率之间有如下关系:

                              ,

所以

               .

由此可求得振动周期,为

                            .

    (2)  到达平衡位置时速率为最大,可以表示为

                                  ,

通过平衡位置时的动能为

                   .

    (3)  总能量为

                    .

    7-14  一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:(式中x的单位是mt的单位是s),求合振动的振幅和初相位。

      已知A1 = 0.05 mj = p / 3A2 = 0.06 mj2 = -2p / 3,故合振动的振幅

     m

       .

合振动的初相位为

                      ,

                         .

但是j不能取p / 3,这是因为x1x2是两个相位相反的振动,如果它们的振幅相等,则合振动是静止状态,如果它们的振幅不等,则合振动与振幅较大的那个振动同相位。在大家的问题中,,所以合振动与x2同相位。于是,在上面的结果中,合振动得初相位只能取,即

                            .

    7-15  有两个在同一直线上的简谐振动: m m,试问:

    (1)  它们合振动的振幅和初相位各为多大?

    (2)  若另有一简谐振动m,分别与上两个振动叠加,j为何值时,x1 + x3 的振幅为最大?j为何值时,x2 + x3 的振幅为最小?

     

    (1)  合振动的振幅为

                 .

合振动的初相位

                       ,

考虑到x1x2相位相反,,所以合振动x应与x2同相位,故取

                                 .

    (2)  时,合振动的振幅为最大,所以

                     

这时合振动的振幅为

                    .

    时,合振动的振幅为最小,所以

        

这时合振动的振幅为

                           .

    7-16  在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m0.03 m,当它们的合振动振幅为0.06 m时,两个分振动的相位差为多大?

      合振动的振幅平方可以表示为

                         ,

所以

                        ,

                                .

    7-17  一个质量为5.00 kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下,其振动周期为;在阻尼振动的情况下,其振动周期为。求阻力系数。

      无阻尼时

                          .

有阻尼时

                          .

根据关系式

                              ,

解出b,得

                         .                 

b代入下式就可求得阻力系数

                .

    7-21  某一声波在空气中的波长为0.30 m,波速为340 m×s-1 。当它进入第二种介质后,波长变为0.81 m。求它在第二种介质中的波速。

      由于波速u、波长l 和波的频率n 之间存在下面的关系:

                                 ,

当声波从一种介质进入另一种介质时,频率不会改变,所以

                                .

于是可以求得声波在第二种介质中的波速,为

               .

    7-22  在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波,它们的波长是否可能相等?为什么?如果这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长是否可能相等?为什么?

      根据教材(上卷)160~161页波在介质中的传播速率的表达式(7-50)(7-51)(7-52),可以看到,波的传播速率是由介质自身的特性所决定。所以,两列不同频率的简谐波在同一种介质中,是以相同的速率传播的。故有

                                .

可见,频率不同的两列波,其波长不可能相同。

    当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时,上面的关系式不成立。只要两种介质中的波速之比等于它们的频率之比,两列波的波长才会相等。

    7-23  已知平面简谐波的角频率为w =15.2´102 rad×s-1,振幅为A =1.25´10-2 m,波长为l = 1.10 m,求波速u,并写出此波的波函数。

      波的频率为

                      .

波速为

                         .

所以波函数可以写为

        .

    7-24  一平面简谐波沿x轴的负方向行进,其振幅为1.00 cm,频率为550 Hz,波速为330 m×s-1 ,求波长,并写出此波的波函数。

      波长为

                        .

波函数为

       .

    7-25  在平面简谐波传播的波线上有相距3.5 cmAB两点,B点的相位比A点落后45° 。已知波速为15 cm×s-1 ,试求波的频率和波长。

      AB两点的坐标分别为x1x2,这样两点的相位差可以表示为

                             ,

                              .

由上式可以求得波长,为

                        .

波的频率为

                            .

    7-27  波源作简谐振动,位移与时间的关系为 y = (4.00´10-3 ) cos 240p t  m它所激发的波以30.0 m×s-1 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长,并写出波函数。

      设波函数为

                                .

已知, , , 根据这些数据可以分别求得波的周期和波长。

    波的频率为

                          .

波的周期和波长分别为

                            ,

                            .

于是,波函数可以表示为

                      .

    7-29  沿绳子行进的横波波函数为,式中长度的单位cm,时间的单位是s。试求:

    (1)  波的振幅、频率、传播速率和波长;

    (2)  绳上某质点的最大横向振动速率。

      波函数可写为

                     ,

其中

                                .

    (1)  由已知条件可以得到

                        ,

                          ,

                          ,

                           .

    (2)  绳上质点的横向速率为

                     ,

所以

                     .

    7-30  证明公式

      根据

                              ,

所以可以将波速的表达式做如下的演化:

                           ,

故有

                                 .

    7-31  用横波的波动方程和纵波的波动方程证明横波的波速和纵波的波速分别为

      将平面简谐波波函数

                            

分别对xt求二阶偏导数:

                         ,                     (1)

                          .                      (2)

将以上两式同时代入纵波波动方程[即教材中第167页式(7-62)],得

                              ,

所以

                                .

将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程[即教材中的式(7-64)],得

                              ,

所以

                                .

    7-32  在某温度下测得水中的声速为1.46´103 m×s-1 ,求水的体变模量。

      已知水中的声速为u = 1.46´103 m×s-1,水的密度为,将这些数据代入下式

                               ,

就可以求得水的体变模量,得

                         .

    7-33  频率为300 Hz、波速为330  m×s-1的平面简谐声波在直径为16.0 cm的管道中传播,能流密度为10.0´10-J×s-1 ×m-2 。求:

    (1)  平均能量密度;

    (2)  最大能量密度;

    (3)  两相邻同相位波面之间的总能量。

     

    (1)  平均能量密度:根据

                              ,

将已知量 代入上式,就可以求得平均能量密度,得

                         .

    (2)  最大能量密度wmax

                        .

    (3)  两相邻同相位波面之间的总能量W:将已知量

                             ,

                         ,  

代入下式,并得

                         .

    7-34  PQ是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源,其频率为n、波长为lPQ相距3l / 2RPQ连线延长线上的任意一点,试求:

7-8

    (1)  P发出的波在R点引起的振动与自Q发出的波在R点引起的振动的相位差;

    (2)  R点的合振动的振幅。

     

    (1)  建立如图7-8所示的坐标系,PQR的坐标分别为x1x2xPQ的振动分别为

                      .

P点和Q点在R点引起的振动分别为

           .

两者在R点的相位差为

         

             .

两者在R点的相位差也可以写为

        

            .

可见,P点和Q点在R点引起的振动相位是相反的,相位差为

    (2)  R点的合振动的振幅为

                      .

可见,R点是静止不动的。实际上,由于在Dj的上述表达式中不含x,所以在x轴上、Q点右侧的各点都是静止不动的。

    7-35  弦线上的驻波相邻波节的距离为65 cm,弦的振动频率为2.3´102 Hz,求波的传播速率u和波长l

      因为相邻波节的距离为半波长,所以

                          .

波速为

                          .

    7-36  在某一参考系中,波源和观察者都是静止的,但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应,问接收到的波长和频率如何变化?

      在这种情况下,接收到的频率为

                             ,

同时,因为,所以,即没有多普勒效应。

    7-37  火车汽笛的频率为n,当火车以速率V通过车站上的静止观察者身边

时,观察者所接收到的笛声频率的变化为多大?已知声速为u

      火车远去时,观察者所接收到的笛声频率为

                             ,

火车迎面驶来时,观察者所接收到的笛声频率为

                              .

观察者所接收到的笛声频率的变化为

                  .

7-38  道路交通管理条例中规定,在城市街道上小型客车的行驶速度不得超过70 km×s-1 。为了检查过往车辆的行驶速度,某岗亭上装置了超声波探测器,它能够发射出频率为100 kHz的超声波探测讯号。有一辆迎面驶来的小型客车,探测器所接收到的从车辆反射回来的超声波频率为112 kHz。已知此时空气中的声速为340 m×s-1 ,试问该车辆的是否违章?

     当超声波从探测器传向车辆时,车辆是观察者,车辆接收到的超声波的频率为

                              ,                          (1) 

式中u是空气中的声速,V是车辆的行驶速度,n 是探测器发出的超声波的频率。 在超声波被车辆反射回探测器的过程中,车辆变为波源,而探测器成为观察者。这时探测器所接收到的反射波频率为

                             .                          (2)

将式(1)代入式(2),得到探测器所接收到的反射波频率为

                              ,                         (3)

由式(3)解出车辆的行驶速度为

              .

                 70 km×s-1 = 19.4 m×s-1

               19.2  m×s-1 < 19.4 m×s-1.

所以该车辆没有违章。

       
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