三、狭义相对论的基本原理

    1. 狭义相对论的基本原理

    爱因斯坦(A.Einstein, 1879-1955)认为,应该与机械论彻底决裂,应该完全抛弃以太假说,电磁场是独立的实体,是物质存在的一种基本形态。电磁现象与力学现象一样,不应该存在某个特殊的最优参考系。相对性原理应该具有普遍意义,不仅经典力学规律,而且经典电磁学规律和其他物理学规律,在所有惯性系中都应该保持不变的数学形式。这样一来,就必须寻找或建立各惯性系之间的新的变换关系,以代替伽利略变换。前面大家曾说,伽利略变换是经典时空观念的集中体现,建立新的变换关系就意味着建立一种新的时空观念,这就是下面要讨论的狭义相对论时空观。

    如前所述,在经典电磁学理论,即麦克斯韦方程组中存在一个普适常量,这就是真空中光速c。只要认为经典电磁学理论满足一种新的相对性原理,那么在这种新的变换关系下麦克斯韦方程组应该保持不变的数学形式,也就是说在所有惯性系中,电磁波都以光速c传播。这就必须承认光速的不变性。

    爱因斯坦将以上论述概括为狭义相对论的两条基本原理:

    (1) 相对性原理:基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式,因此一切惯性系都是等价的;

    (2) 光速不变原理:在一切惯性系中,光在真空中的传播速率都等于c,与光源的运动状态无关。

    作为整个狭义相对论基础的这两条原理,最初是以假设提出的,而现在已为大量现代实验所证实。

    2. 洛伦兹变换

    为简便起见,大家假设S系和S¢ 系是两个相对作匀速直线运动的惯性坐标系,规定S¢ 系沿S系的x轴正方向以速度v相对于S系作匀速直线运动,x¢、y¢ z¢ 轴分别与xyz轴平行,S系原点O与S¢系原点O¢ 重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点。大家就在这两个惯性系之间推导新的变换关系。

    新变换首先应该满足狭义相对论的两条基本原理。另外,当运动速度远小于真空光速时,新变换应该过渡到伽利略变换,因为在这种情况下伽利略变换被实践检验是正确的。最后,新变换应该是线性的,因为只有这样才能保证当物体在一个参考系中作匀速直线运动时,在另一个参考系中也观察到它作匀速直线运动。根据这些要求,大家作最简单的假设

                          x¢ = k( x - v t ) ,                   (8-5)

k是比例系数,与xt都无关。按照狭义相对论的第一条基本原理,S系和S¢ 系除了作相对运动外别无差异,考虑到运动的相对性,相应地,应有

                          x = k(x¢ + vt¢ ) ,                     (8-6)

另外两个坐标的变换容易写出

                             y¢ = y ,                        (8-7)

                             z¢ = z .                         (8-8)

为得到时间坐标的变换,将式(8-5)代入式(8-6),得

                        ,

从中解出t ¢ ,得

                           .                  (8-9) 

    确定k需要用到狭义相对论的第二条基本原理。根据大家规定的初始条件,当两个惯性坐标系的原点重合时,有t = t¢ = 0。如果就在这时,在共同的原点处有一点光源发出一光脉冲,在S系和S¢ 系都观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。所以在S系有

                             x = ct ,                        (8-10)

在S¢ 系有

                              x¢ = ct¢ .                           (8-11)

将式(8-10)和式(8-11)代入式(8-5)和式(8-6),得

                         ,

                           .

由以上两式消去tt¢ 后,可解得

                          .                 (8-12)

k代入式(8-5)和式(8-9),就得到新变换的最终形式

                       ,                  (8-13)

这种新的变换称为洛伦兹(H.A.Lorentz, 1853-1928)变换。显然,在v << c的情况下,洛伦兹变换就过渡到伽利略变换。

    在式(8-13)中将带撇的量与不带撇的量互换,并将v换成-v,就得到洛伦兹变换的逆变换

                       .                  (8-14)

    从洛伦兹变换中可以看到,x¢t¢ 都必须是实数,所以速率v必须满足

                     或者  ,               (8-15)

于是大家得到了一个十分重要的结论,这就是一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c,或者说真空中的光速c是物体运动的极限速度。

       
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