[例题分析]

    例题8-1  夫妻同龄,30岁时生一子。儿子出生时丈夫要乘坐速率为0.86 c的飞船去半人马座 a星,并且马上返回。已知地球到半人马座 a星的距离是4.3  l.y. (光年),并假设飞船一去一回都相对地球作匀速直线运动。问当丈夫返回地球时,妻子、儿子和丈夫各多大年龄?

      此题就是教材中的习题8-12,属于“孪生子佯谬”问题。

    妻子(和儿子)在地球上看丈夫往返一次所需要的时间为

                         .

在运动的飞船中的丈夫看来,从地球到半人马座 a星往返一次的距离缩短了,即

                     .

他以0.86c的速度飞行这段距离所需要的时间为

                          .

    在地球上的观察者从相对论的观点认为,飞船中的时钟由于运动而变慢了,往返一次飞船中的时钟指示的时间为

                 .

    所以,当丈夫返回地球时,妻子40岁,儿子10岁,丈夫35.1岁。这在逻辑上和理论上都是正确的,如果人类能制造出这样的飞船并能实现这样的飞行的话,那么结果真会是如此的。

    根据时间延缓效应是互逆的,有人会提出这样的问题:如果纯粹从相对运动的角度,可以把上述运动过程看为飞船静止不动,而地球以0.86 c的速度沿反方向作往返匀速直线运动。所以,在地球上看,上述过程所经历的时间是5.1 a,飞船上看却是10 a。所以当“地球返回飞船”时,妻子35.1岁,儿子5.1岁,丈夫40岁。显然与上面的结论是相反的。这就是所谓“孪生子佯谬”。

    问题出在哪里呢?大家在[概念阐释]中曾说,狭义相对论只适用于惯性参考系,如果地球和飞船是两个等价的惯性参考系,上面两种结论都是正确的,谬论自然就产生了。实际上,地球可以作为惯性参考系,而飞船却不是。飞船在从地球上起飞和在地球上降落,以及降落到半人马座 a星和从半人马座 a星起飞,都必须产生加速度,所以飞船不是惯性参考系,狭义相对论不适用于飞船,在飞船上用狭义相对论所得到的结论自然就是错误的,妻子35.1岁、儿子5.1岁、丈夫40岁的结论是不对的。

    地球是惯性参考系,在地球上用狭义相对论所得到的妻子40岁、儿子10岁、丈夫35.1岁的结论是正确的。

    例题8-2  m子的寿命(在相对于 m子静止的参考系中测得的它所存在的时间)t 0 = 2.2´10-6 s,经常发现在它存在的时间内能够运行L = 2.0´103 m的距离。已知 m子的静质量m0 = 100  MeV/c2,求 m子的速度和相应的能量。

      可以认为 m子是以速度v作匀速直线运动,在实验室参考系中测得m子的寿命为t,根据相对论时间延缓效应,应有

                         .                        (1)

于是有

                       .                       (2)

m子的速度与光速的差记为Dv,即

                           .                           (3)

因为 m子的速度接近光速,所以

                             .

这样,式(2)可做下面的简化:

        ,

所以

                       .

由此解得 m 子的速度为

                       .

    m子的能量为

              .

       
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