§9-2  理想气体的压强和温度

    一、理想气体的压强公式

图 9-4

    容器器壁所受气体的压力是大量分子对器壁碰撞的结果。设在一个边长分别为l1l2l3的长方体容器中有N个气体分子,单位体积内的分子数为n,并且Nn都是大数。在平衡态下,气体分子对容器各种取向的器壁的碰撞都是等同的,大家可以只考虑某个特定取向的壁面的情形。下面大家讨论垂直于x轴的壁面S1 (见图9-4)所受分子的撞击和由此产生的压强。

    容器内任意一个分子i的运动速度设为 ,当它与S1面作完全弹性碰撞后,只在x方向的速度分量改变了符号,其他速度分量保持不变,所以速度变为 。由此可见, 对于垂直于x轴的壁面S1来说,大家可以只考虑x方向的运动。若分子的质量为m,则分子每与S1面碰撞一次,其动量的增量为-2mvix 。由动量定理可知,这一动量的增量应等于分子受到的S1面的冲量。根据牛顿第三定律,分子所受壁面S1的冲量与该壁面所受分子的冲量,大小相等,方向相反。所以壁面S1 受到分子i的冲量为2mvix 。分子受到壁面S1的冲力作用而被弹回,以-vix飞向壁面S2,与S2碰撞并被弹回后,又以速度vix去撞击壁面S1。由于S1面和S2面相距l1, 分子iS1面作连续两次碰撞所需要的时间为2l1/vix  单位时间内分子iS1面的碰撞次数为vix /2l1,对S1面提供的冲量为 。单位时间内作用于S1面的冲量,就等于S1面所受冲力。所以,壁面S1所受分子i的冲力的大小为 。由于容器内包含了大量分子,在每一瞬间,壁面的每一部分都受到大量分子的撞击,因而在宏观上就表现为一个均匀的、连续的压力。S1面所受的总的平均冲力大小应为

                

                      ,       (9-5)

式中 是系统中分子速度x分量的平方的平均值,应表示为

                      .                (9-6)

作用于壁面S1的压强应为

                      .               (9-7)

在平衡态下,系统内分子沿各个方向的运动概率应是均等的,任何一个方向都不会比其他方向特殊, 所以容器内分子运动速度的三个分量的平方的平均值应该相等,即

                          ,                     (9-8)

并且容易证明

                           .                    (9-9)

由以上两式可得

                        .               (9-10)

将式(9-10)代入式(9-7),得

                           .                    (9-11)

若取垂直于y轴或z轴的壁面来讨论,必然会得到与式(9-11)完全相同的结果。

    引入分子的平均平动动能,将其定义为分子的质量与系统中分子速率平方的平均值的乘积之半,即

                           .                   (9-12)

将式(9-12)代入式(9-11),得

                            ,                   (9-13)

这就是所求的气体压强公式。这个公式把系统的宏观量压强与微观量分子平动动能的平均值联系起来了。公式说明了气体压强是大量分子对容器器壁无规则剧烈碰撞的平均结果。容器中单位体积的分子数越多,分子的平均平动动能越大,容器器壁所受的压强也越大。压强公式能够对气体中的许多现象和规律作出圆满的说明。

       
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