§9-4  麦克斯韦速率分布律

         一、麦克斯韦速率分布律

         在一个处于平衡态的气体系统中,由于热运动的无规则性和分子间的频繁碰撞,分子的运动速率不仅是千差万别的,而且是瞬息万变的。但是,就在这同一个系统中,分子热运动的平均速率、方均根速率以及最概然速率,却都具有确定的数值,而且不随时间变化。1859年麦克斯韦(J.C.Maxwell, 1831-1879)首先从理论上预言,在处于平衡态的气体系统中,分布于一定速率间隔内的分子数目是确定的。由于实验条件的限制,直到20世纪20年代, 人们才测量出分子的热运动速率,证实了麦克斯韦的预言。

         如果一个系统内共有N个分子,处于不同速率间隔内的分子数目是不同的。设处于vv+dv间隔内的分子数为dN,占分子总数的比率为dN /N。显然,比率dN /N与所取间隔dv的大小有关,为便于比较,可取比值dN/(Ndv)。比值dN /(Ndv)是表示,在速率v附近,处于单位速率间隔内的分子数在分子总数中所占的比率。麦克斯韦指出,对于处于平衡态的给定气体系统,dN /(Ndv)是v的确定函数,用f (v)表示,即

                         ,                     (9-27)

这个函数称为气体分子的速率分布函数。

         速率分布函数f (v)在某一速率处的值,表示分布于这个速率附近单位速率间隔内分子数的比率,或者表示分子处于该速率附近单位速率间隔内的概率。如果要确定分布在速率从v1v2间隔内的分子数在分子总数中的比率,可以在从v1v2的速率范围内对分布函数f (v)积分,即

                        .                   (9-28)

         因为所有N个分子的速率必然处于从0到 ¥ 之间,也就是在速率间隔从0到 ¥ 的范围内的分子数占分子总数的比率为1,即

                         ,                     (9-29)

这是分布函数f (v)必须满足的条件,称为归一化条件。

         麦克斯韦进一步指出,在平衡态下,分子速率分布函数可以具体地写为

              ,                  (9-30)

图9-8

式中T是气体系统的热力学温度,k是玻耳兹曼常量,m是单个分子的质量。式(9-30)称为麦克斯韦速率分布律。

         图9-8画出了f (v)与v的关系曲线,这条曲线称为速率分布曲线。由图可见,曲线从坐标原点出发,随着速率的增大,分布函数迅速到达一极大值,然后很快减小,随速率延伸到无限大,分布函数逐渐趋于零。速率在从v1v2之间的分子数比率DN/N,等于曲线下从v1v2之间的面积, 如图中阴影部分所示。显然,速率从0到 ¥ 之间的分子数比率,等于整个曲线下的面积。根据归一化条件,这个面积也必定等于1。

         对于一定的气体,分布曲线的形状随温度的不同而异,温度越高,分子的热运动速率越大,大速率的分子越多,曲线必定向右延伸。但由于曲线下的面积是恒定的, 所以曲线的高度要降低。图9-9画出了氧分子在两种不同温度下的速率分布曲线。可见,高温曲线较低温曲线平缓。

         在相同温度下,分布曲线的形状随气体分子质量的不同而异。因为分子的平均平动动能只决定于温度,温度一定,分子的平均平动动能也就一定,质量较小的分子热运动速率必然较大,大速率的分子必然较多,所以曲线将向右延伸。这种情形与上面所分析的温度高低的情形相似。因此,在相同温度下,小质量分子组成的气体系统的速率分布曲线比大质量分子组成的气体系统的速率分布曲线平缓。

       
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