§9-6  气体内的输运过程

    气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程,就称为输运过程。当系统各处气体密度不均匀时,就会发生扩散过程,使系统各处的密度趋于均匀;当系统各处的温度不均匀时,就会发生热传导过程,使各处的温度趋于均匀;当系统各处的流速不均匀时,就会发生黏性现象,使系统各处的流速趋于一致。扩散过程、热传导过程和黏性现象都是典型的输运过程。

    如前所述,气体系统由非平衡态向平衡态的转变,是通过气体分子的热运动和相互碰撞得以实现的。所以,大家可以把热运动过程中分子间的碰撞作为气体内输运过程的机制。

    一、气体分子的碰撞频率和平均自由程

    气体分子在热运动中进行着频繁的碰撞,假如忽略了分子力作用, 那么在连续两次碰撞之间分子所通过的自由路程的长短,完全是偶然事件。但对大数分子而言,在连续两次碰撞之间所通过的自由路程的平均值,即平均自由程却是一定的,它是由气体系统自身性质决定的。

图 9-13

    不难想象,气体分子的平均自由程与系统中单位体积分子数有关,与分子自身大小有关。为了探讨这种关系,大家首先应对气体系统和分子作一些简化处理。(1) 认为气体分子是刚性球,把两个分子中心间最小距离的平均值认为是刚性球的有效直径,用d表示,并且分子间的碰撞是完全弹性碰撞;(2) 系统中气体分子的密度不很大,以致发生三个分子互相碰撞在一起的概率很小,可以忽略,只要考虑两个分子的碰撞过程就够了;(3) 当某个分子与其他分子碰撞时,它们的中心间距为d,大家可以认为这个分子的直径为2d,而所有与它发生碰撞的分子都看为没有大小的质点;(4) 如果分子热运动的相对速率的平均值为 ,可以假定这个被大家跟踪的分子以 运动,而所有与它发生碰撞的分子都静止不动。

    在上述简化处理下,让大家跟踪分子A,观察它与其他分子碰撞的情形。在分子A的运动过程中,它将扫过一个以pd2为截面积、以它的中心的运动轨迹为轴线的圆柱体,凡是处于这个圆柱体内的质点,都将与分子A发生碰撞。因此大家把截面积p d 2称为分子的碰撞截面。这个圆柱体必定是曲折的,如图9-13所示,这是因为在与其他分子发生碰撞的地方,分子A改变了运动方向。在t时间内,分子所扫过的曲折圆柱体的总长度(即其轴线的长度)为 t,相应的圆柱体的体积为 t p d 2 。如果系统中单位体积内的分子数为n,那么包含在圆柱体内的分子数为n t p d 2 。因为圆柱体内包含的分子都与分子A发生碰撞,所以圆柱体内包含的分子数必定等于在t时间内分子A与其他分子碰撞的次数。若用 表示在单位时间内分子A与其他分子的平均碰撞次数,则应有

                     ,                     (9-50)

也称为分子的碰撞频率。可以证明,分子热运动的平均相对速率 与平均速率 之间存在下面的关系

                          .                           (9-51)

将式(9-51)代入式(9-50),得

                        .                       (9-52)

分子A在1 s内运动的平均路程为 ,在这段时间内发生了 次碰撞,因而每连续两次碰撞所通过的平均路程,即平均自由程为

                       .                   (9-53)

上式表示,分子的平均自由程与分子的有效直径的平方成反比,与单位体积内分子数成反比,而与分子的平均速率无关。

    由于温度恒定时气体的压强与单位体积内分子数成正比,即p = nkT, 所以可以得到分子平均自由程与压强的关系

                         .                     (9-54)

这表示,在温度恒定时,分子的平均自由程与气体压强成反比。

    大家把d称为分子的有效直径,是由于气体分子并不是真正的球体,分子碰撞的实际过程也与刚性球的完全弹性碰撞不同。分子是一个复杂的带电体,分子之间相互作用的性质也是十分复杂的,当分子间距很小时,表现为斥力,并且随着分子间距的减小,斥力迅速增大,碰撞过程就是在这种斥力的作用下进行的。显然,随着两个分子在碰撞前相互接近的速率的不同,它们之间所能达到的最小距离也不同。可见分子的有效直径并不能代表分子的真正大小。

    为了描述系统的非平衡态,大家采用局域平衡假设, 即虽然系统整体是处于非平衡态,不能用统一的确定参量来描述,但可以将系统划分成很多很小的区域,每一个这样的小区域却处于平衡态,可以用确定的参量来描述。于是对于整个系统而言,态参量都是位置和时间的函数。下面讨论黏性现象、热传导过程和扩散过程都是以局域平衡为出发点进行的。 

       
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