二、黏性

    在§6-4中,大家已经从宏观角度对流体的黏性进行了讨论。曾指出,在作相对运动的两层流体之间的接触面上,将产生一对阻碍两层流体相对运动的、大小相等而方向相反的黏力作用,其大小为

                        ,                      (9-55)

图9-14

式中h是流体的黏度,流体沿y方向作定向流动,并且流动速率沿z方向递增, 是流体定向流动速率梯度在z0处之值,DS是在z0处两流体层接触面的面积。大家将这个公式所反映的宏观规律用于现在讨论的气体系统中。

    从气体动理论观点来看,系统中每个分子除具有热运动的动量外, 还具有定向运动的动量。设分子的质量为m,则分子定向运动的动量为mu。在接触面DS下侧的气体层中的分子,定向运动的速度为u1,定向运动的动量为mu1。在接触面DS上侧的气体层中的分子,定向运动的速度为u2,定向运动的动量为mu2,并且mu2 > mu1,如图9-14所示。由于热运动,下气层中的分子携带较小的定向运动动量mu1,通过接触面DS迁移到上气层中。又由于分子间的碰撞,定向运动动量被均匀化,所以上气层中定向运动动量减小。与此同时,上气层中的分子携带较大的定向运动动量mu2,通过接触面DS迁移到下气层中,使下气层中定向运动动量增大。这种分子定向运动动量均匀化的过程,在宏观上就表现为两气层之间相互作用的黏力。所以,黏性现象是气体分子定向运动动量输运的宏观表现。

    下面先讨论在d t时间内两气层通过DS面交换的分子数,再讨论分子穿越 DS所输运的定向运动动量。

    在接触面 DS上侧的气层中,在d t时间内能够穿越 DS面到达下侧气层的分子数,是处于图9-15所示的以DS为底、以 为高的柱体内的一部分分子。如果系统内单位体积的分子数为n,大家可以设想,一个单位体积

图9-15

内的n个分子,由于热运动,在d t时间内全部离去,与此同时,相同数目的分子由该立方体以外的空间进入该立方体。这个立方体的六个面中的任何一个,都不比其他面特殊,所以通过单位立方体的任何一个面进入或离去的分子数都是n/6。于是,在d t时间内,穿越 DS 面由上侧气层到达下侧气层的分子数应为

     .

同理,在d t时间内,穿越DS面由下侧气层到达上侧气层的分子数,也必定等于dN

    分子的交换引起定向运动动量的迁移。上、下气层通过接触面 DS 所迁移的定向运动动量的大小为

            .

因为气体定向流动的速率沿 z方向递增,所以实际上d p是沿z轴的负方向由上侧气层通过DS面输运到下气层的定向运动动量,应该写为

                    .               (9-56)

    处于DS面下侧气层中将要交换的分子,在穿越 DS 面以前最后一次碰撞的位置上定向运动速率为u1,那么最后一次被碰撞的位置应该在何处?显然,对于每一个即将穿越 DS面的分子来说,所处位置是不同的, 但不管多么不同,通过最后一次碰撞它们都一定穿越 DS 面到达上气层中去。所以平均地说,可以认为它们是处于 DS 面以下并与 DS 面相距一个平均自由程的地方,即处于 处。在 DS面上侧气层中将要交换的分子,在穿越DS面以前最后一次碰撞的位置上定向运动速率为u2, 同样可以认为这些分子是处于  DS面以上并与 DS面相距一个平均自由程的地方,即处于 处,所以

           .         (9-57)

将式(9-57)代入式(9-56),得

                    .

以DS 相隔的两层气体层之间的黏力为

           ,    (9-58)

式中r = nm,是气体的密度。将式(9-58)与式(9-55)相比较,可以得到气体的黏度h与分子微观量平均值 等之间的关系

                          .                     (9-59)

上式表示,气体的黏度h取决于系统中单位体积的分子数n、分子的质量m、分子热运动的平均速率 和平均自由程 ,而这些量都是由气体自身性质和所处状态决定的。

    决定气体黏度h的三个量r 中,平均速率 与气体的压强无关,密度r与气体的压强成正比,分子的平均自由程 与压强成反比。于是,由式(9-59)可以得到气体的黏度与压强无关的结论。对于这个结论,大家可以作如下说明:虽然随着系统压强的降低,单位体积内的分子数将减少,穿越 DS 面交换的分子对数将减少,但由于分子的平均自由程随压强的降低而增大,距离 DS 面更远的分子也能穿越 DS 面而参与交换,致使参与交换的分子所携带的定向运动动量增大,所以参与交换的分子所迁移的总的定向运动动量仍能保持不变,故黏度与压强无关。这个结论也得到实验的证实。表9-2列出了在不同压强下测得的二氧化碳气体的黏度值。

    由表中的数据可见,二氧化碳气体的黏度在很宽的压强范围内都保持恒定, 仅当压强很低时才表现出变化的趋势。在极低压强下,气体的黏度不再是恒定的,而是与压强成正比。这是因为在极低压强下分子的平均自由程变得很大了,当 等于或大于容器的线度时,分子的实际自由程被容器器壁所限定,可以认为分子的平均自由程的最大值就是容器的线度。这时r 三个决定气体黏度h的量中只有r与压强成正比。所以,在极低压强下,气体黏度h与压强成正比。

表9-2  在不同压强下测得的二氧化碳气体的黏度

       压 强 / 102 Pa

      黏 度 / (10-6 Pa×s)

           1013

            506.5

             26.66

              2.666

              0.7997

            14.9

            14.9

            14.8

            14.7

            13.8

由于r 与温度无关,而 与热力学温度的平方根 成正比,所以气体的黏度h 成正比。这正是§6-4中曾指出的气体黏度随温度升高而增大的原因。

       
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