四、 麦克斯韦速率分布律(§9-4)

    1. 麦克斯韦速率分布律

    (1)  速率分布函数的物理意义

    系统中分子的总数为N,在平衡态下处于不同速率间隔内的分子数是不同的,如果处于vv + dv间隔内的分子数为dN,那么dN/N则表示这部分分子在总分子数中所占的比率,而对任何一个分子而言,则表示它处于上述速率间隔内的概率。由此可以理解dN / Ndv的涵义,它表示,分子处于速率v附近单位速率间隔内的概率。麦克斯韦认为dN/Ndvv的确定函数,并记为

                 .

这个函数就称为气体分子速率分布函数。

    根据f (v)的涵义,大家不难理解以下各式的物理意义:

     f (v)dv表示分子处于v附近、速率间隔为dv内的概率;

    表示分子处于从v1v2速率间隔内的概率;

    表示分子处于从0¥速率范围内的概率,因为任何分子的热运动速率都必然地落在这个范围内,所以此概率为1,即

                          .

这称为速率分布函数的归一化条件,是速率分布函数f (v)的重要性质之一。

    (2)  速率分布函数具有以下特性:

    a)  速率分布曲线起始于坐标原点,随着速率的增大,函数迅速达到一极大值,以后又迅速减小,随着速率延伸到无限大,函数逐渐趋于零。虽然对于不同的气体系统和不同的平衡态,曲线的形状会有差异,但大致的趋势都是如此。

    b)  分布函数归一化条件在图线上的表现,是整个曲线下的面积等于1。对于不同的气体系统和不同的平衡态,尽管曲线的形状有差异,但都必须满足这个条件。

    c)  对于一个确定的气体系统,随着温度的升高,大速率的分子数增加,速率分布曲线将向右延伸,同时峰值的高度要下降。

    d)  在相同温度下,由小质量分子组成的气体的速率分布曲线比由大质量分子组成的气体的速率分布曲线偏右,峰值偏低,整个曲线显得平缓些,与任一确定的系统随温度的升高速率分布曲线的变化情形相似。

    2. 用速率分布函数求分子速率的统计平均值

    (1)  利用速率分布函数可以计算在一定平衡态下分布在某一速率间隔内的分子数,如在v1 ~ v2 速率间隔内的分子数可以表示为

                           .

    (2)  可以计算在一定平衡态下气体分子的三个特征速率,即平均速率、方均根速率和最概然速率,教材中计算了这三个特征速率,并分别得到了式(9-31)(9-32)和式(9-33)

    (3)  还可以计算与分子速率有关的物理量的平均值。如果气体系统的物理量R是分子速率的函数,则它的平均值可以表示为

                        .

       
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