六、气体内的输运过程(§9-6)

    1. 气体分子的碰撞频率和平均自由程

    在一个气体系统中,对任意一个分子而言,它与其他分子连续两次碰撞之间所经过的路程 l 有长有短,它在单位时间内与其他分子碰撞的次数Z有多有少,这些都是偶然事件。但是对大量分子而言,在平衡态下,它们的平均值却具有确定的值。教材中通过分析和推理得出了下面的公式:

                            

                           .

读者应掌握教材中的分析和推理,同时还应注意以下问题。

    (1)  在这以前大家所讨论的气体系统,都是理想气体系统,而在这一节里讨论平均自由程和平均碰撞次数时,却采用了另一种气体分子模型,即认为气体分子是具有一定大小的刚性球,碰撞是完全弹性的。如若仍然把系统看为理想气体系统,那么分子之间是不可能发生碰撞的,自由程为无限大,单位时间内的碰撞次数为零。

    (2)  刚性球的有效直径d与实际气体分子的真正大小是有差异的,关于这一点,在教材中作了明确阐述,要求读者理解。

    (3)  从所得结果看,分子的平均自由程只决定于分子的有效直径d和系统中单位体积内分子数n,看不出与系统所处状态有什么联系。有的读者可能会认为,上述平均自由程公式与系统所处的状态无关,所以它对于系统的非平衡态也是适用的。实际上并非如此。

    在推导过程中用到了关系

                             ,

而这个关系式是利用了麦克斯韦速度分布律(将在§18-10讨论)得到的,麦克斯韦速度分布律是描述平衡态下气体分子热运动速度分布的规律。另外,处于非平衡态的系统各部分的物理性质是不均匀的,分子浓度n不可能保证各处均匀,因此系统中各部分的分子平均自由程将会有不同的数值。如果系统各部分n值相等,说明系统是处于平衡态。

    由以上两点看,上述平均自由程公式是反映了处于平衡态下气体系统分子热运动的统计规律性。

    (4)  大家在这一节所讨论的输运过程,是气体系统从非平衡态向平衡态的转变过程,碰撞则是这种转变的机制。所以,这里所讨论的关于碰撞的性质(两次相邻碰撞所经过的平均路程和单位时间内的碰撞次数)是使用于非平衡态的。于是就出现了这样的问题:把在平衡态得到的性质()使用于非平衡态,这是难道是允许的吗?

    为解决这个矛盾,就引入了“局域平衡假设”的概念。所谓“局域平衡假设”,就是虽然系统整体处于非平衡态,不能用统一的确定参量来描述,但可以将系统划分成很多很小的区域,并假设每一个这样的小区域都处于平衡态,可以用确定的参量(包括)来描述。

    2. 黏性

    从气体动理论的角度,气体的黏性是气体分子定向运动动量输运的宏观表现。所得结论是

                            .

    (1)  在推导上式的过程中,对气体分子的微观过程作了多方面的简化处理,主要有:

    a)  分子沿三个坐标轴的正、负方向运动的概率是相同的,所以沿z轴的正方向和沿z轴的负方向穿越 DS面的分子数目,都是分子总数的1/6

    b)  分子在运动过程中,与某一气层中的分子发生一次碰撞,就舍弃原有的定向动量,而获得受碰处的定向动量,所以认为,上、下气层中行将交换的分子都具有在穿越 DS 面之前最后一次受碰处的定向动量;

    c)  认为气体内各气层都处于平衡态,麦克斯韦速率分布律成立,并且由于温度相同,分子的平均速率具有相同的值;

    d)  不考虑外力场的作用,分子数密度n各处相等;

    e)  分子之间的相互作用只考虑它们的碰撞,而忽略了它们之间的分子力作用。

    上述简化处理不仅在分析气体的黏性时使用,在讨论热传导和扩散时也都使用了。

    (2)  几个重要的结论

    a)  从式(9-59)可以得到黏度与温度的关系为

                              .

而实验结果却是

                              .   

导致这种差异的原因,在于上述简化处理,其中主要是由于忽略了气体分子之间的分子力作用。

    在§6-4中大家曾指出,应该“注意到气体和液体黏性机理上的区别,这种区别主要表现在黏度与温度的关系有不同的规律上:液体的黏度随温度的升高而减小,气体的黏度随温度的升高而增大。”这里大家从气体动理论的角度分析了气体的黏性机理,对此作了证明。

    b)  黏度与气体的压强无关。这个结论是麦克斯韦于1860年首先从理论上导出的,但当时包括麦克斯韦自己在内的许多科学家都对这一结论的正确性表示怀疑。最终实验证明了这个结论是正确的。

    3. 热传导

    从气体动理论的角度,气体的热传导是气体分子热运动平均动能输运的宏观表现。所得结论是

                            .

    (1)  从上式可以得到,气体的热导率与温度的关系为

                              .

而实验结果却是

                              .

导致这种差异的原因,在于上述简化处理,其中主要是由于忽略了气体分子之间的分子力作用。

    (2)  热导率与气体的压强无关。当气体的压强很低时,分子的平均自由程实际上被容器的大小所限定,不再随压强的降低而增大,这时气体的热导率将随压强的降低而成比例地减小。

    4. 扩散

    从气体动理论的观点来看,扩散过程是气体分子携带自身的质量输运的宏观表现。所得结论是

                           .

    (1)  从上式可以得到,气体的扩散系数与温度的关系为

                              .

而实验结果却是

                            .

导致这种差异的原因,仍在于上述简化处理,其中主要是由于忽略了气体分子之间的分子力作用。

    (2)  由式(9-59)和式(9-64)可以得到

                              ,

而实验结果是

                            .

理论和实验的这种差异,来自理论处理的过于简化。

       
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