[例题分析]

    例题9-1  在容积分别为500 cm3200 cm3AB两个容器内盛有空气,并用不导热的细管相通,如图9-4所示。在温度为27°C时,容器内气体的压强为75.0 cmHg。现将A放入沸水中,将B放入冰水中,试求此时空气的压强(空气的摩尔质量m = 29.0´10-3 kg×mol-1 )

      设在容器A内初态空气的质量为M,在容器B内初态空气的质量为m;当把A浸入沸水中(末态),把B浸入冰水中(末态)时,A内的空气受                           

9-4

热膨胀,B内的空气冷却收缩,所以将有一部分空气从A进入B,这部分空气的质量为DM。由于两容器用细管连通,所以在任何状态下两容器内气体压强始终保持相等。

    大家可以先利用初态的物态方程,分别求出初态时两容器内的空气质量Mm,然后再利用末态的物态方程求出系统的压强p¢

    在初态,对于容器A

                            ,

将已知数值代入,得

            ,

解得

                          .

用同样的方法可以求得在初态容器B内的空气质量为

                           .

    在末态,对于容器A

                          ;                   (1)

对于容器B

                          .                    (2)

(1)除以式(2),得

                           .                     (3)   

由式(3)解得

                          .

DM值代入式(1),可求得末态时系统的压强为

      

        .           

    在以上的求解过程中,读者必须注意单位的选取,pV可以采用非国际单位制中的单位,但T的单位必须是开尔文,R的单位和数值必须与所采用的单位相适应。最好一律采用国际单位制中的单位,大家就是这样做的。

9-5

    上面的计算是比较繁杂的,用了四个联立方程。下面大家用另一种方法求解。

    当容器A受热、容器B冷却时,原来处于容器A中体积为DV的气体到达了容器B中。而在初态时,AB两容器中的空气是处于相同的状态中的,可以看作为一个处于平衡态系统的两个部分,但是这两个部分也可以不以容器来划分,而按图9-5所示的情况来划分,处于VA-DV空间的气体为一部分,处于VB + DV空间的气体为另一部分。对于这两个部分的气体分别有如下关系:

                       

                        .

为了计算的简便,压强的单位采用cmHg,体积的单位采用cm3。将已知量的数值代入上面的两个方程,分别得到

                       

                     .

两式联立,解出未知量DVp¢,分别为

                          

                           .

以上两种解法都是通过适当选择研究对象,把变质量问题化为定质量问题。由于所选择的研究对象不同,运算过程的繁简程度也不同,看来后一方法较为简便。

    下面大家采用第三种方法来求解。两个互相连通的容器和其中的气体构成了一个封闭系统,即与外界没有物质交往的系统。无论状态如何变化,系统中的总质量是恒定的。

    在初态:

                         .

    在末态:容器A

                             ;

容器B

                              .

初态和末态空气的总质量相等:

                            ,

                       .

式中只有一个末知量p¢,将已知各量的数值代入,马上可以求得

                            .

可见,在有质量迁移的问题中,利用质量守恒来求解,有时是比较简便的。

    例题9-2  求在温度为20°C时氧分子的平均平动动能、平均动能、平均能量以及8.0´l0-3 kg氧气的内能。

      根据能量均分定理,在平衡态分子任何一种运动方式的任何一个自由度上的平均动能都等于kT / 2。氧分子是双原子分子,平动自由度为t = 3,转动自由度为r = 2,振动自由度为s = 1。于是氧分子的平均平动动能为

            .       

氧分子的平均动能应等于平均平动动能、平均转动动能和平均振动动能之和,即

                   .   

氧分子的平均能量等于平均动能与平均振动势能之和,即

                   .

    按照理想气体内能公式,质量为8.0´10-3 kg的氧气系统的内能为

                  .      

也可以根据已经求得的氧分子的平均能量来计算系统的内能:

     .       

与上面的结果一致。式中NA阿伏伽德罗常量。

    例题9-3  试根据麦克斯韦速率分布律,导出粒子按平动动能的分布律。

      根据麦克斯韦速率分布律,应有

                    .                (1)

分子的平动动能可表示为

                              ,

解得

                              ,                        (2)

两边微分,得

                            ,

所以

                       .                  (3)

将式(2)和式(3)代入式(1),就得到粒子按平动动能的分布律

                 .

    例题9-4  一内直径为d = 3.0 mm的开口毛细管插入盛有水银的容器中,容器与毛细管中的水银液面差为Dh = 3.7 mm。求毛细管内水银面的曲率半径R

      因为水银不润湿玻璃,接触角q必定为钝角,如图9-6所示。毛细管内的水银面低于容器内水银面,并呈凸状。凸面下的附加压强pS > 0,并应表示为

                              .

式中R为水银凸状面的曲率半径。根据图9-6中的几何关系,有

9-6

       ,

所以

                 .            (1)

于是就得到

.    (2)                       

    现在的问题是通过高度差 DhpS的关系,求出接触角q,然后代入式(1),即可求得曲率半径R。毛细管内外水银液面差 Dh是由附加压强pS引起的,所以应有

                 .             (3)                         

将式(3)代入式(2),得

                          .

水银的密度,水银的表面张力系数为d = 3.0´10-3 mDh = 3.7´10-3 m,将这些数据代入上式,算得

                           .

毛细管内水银液的曲率半径为

                      .      

       
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