三、电场强度的计算

    1. 单个点电荷产生的电场

图 10-3

    空间一点电荷q,求距离此点电荷为r的点P的电场强度。根据上述确定电场的方法,大家将试探电荷q0引到点P。由库仑定律,作用于q0的电场力为

        ,

式中r是点P相对于点电荷的位置矢量。根据式(10-3),点P的电场强度为

                        .                             (10-4)

上式表示,点电荷在空间任意一点P所产生的电场强度E的大小,决定于这个电荷的电量和点P到该电荷的距离。电场强度E 的方向,决定于这个电荷的符号:q为正,电场强度  E 与位置矢量r方向相同;q为负,电场强度  E 与位置矢量r方向相反。电场强度E 的方向与q的符号的关系示于图10-3中。

    2. 多个点电荷产生的电场

    若空间存在n个点电荷q1q2、…、qn,现求任意一点P的电场强度。按照上述方法,大家仍将试探电荷q0引到点P。根据力的叠加原理,作用于q0的电场力应该等于各个点电荷分别作用于q0的电场力的矢量之和,即

                     F = F1 + F2 + … + Fn ,

由电场强度的定义,点P的电场强度应表示为

           .     (10-5)

这表明,点P的电场强度等于各个点电荷单独在点P产生的电场强度的矢量和。电场的这种性质称为电场强度的叠加原理。于是,点P的电场强度可具体地表示为

                     ,              (10-6)

图 10-4

式中ri 是点P相对于第i个点电荷的位置矢量。图10-4表示了三个点电荷q1q2q3在点P产生的电场强度E 的叠加情形。

    3.  任意带电体产生的电场

    大家可以把一个带电体所带的电荷看成是很多极小的电荷元dq的集合,每一个电荷元dq在空间任意一点P所产生的电场强度,与点电荷在同一点产生的电场强度相同,即遵从公式(10-4)。整个带电体在点P产生的电场强度则等于所有电荷元在该点产生的电场强度的矢量和。如果点P相对于电荷元dq的位置矢量为r,则dq在点P产生的电场强度应表示为

                        ,                    (10-7)

整个带电体在点P产生的电场强度为

                         .                   (10-8)

上式虽然表示成积分的形式,但实际上仍是矢量和,要把dExyz三个方向的分量写出,分别进行积分运算。

    为了用式(10-8)处理具体问题,必须引入电荷密度的概念。如果电荷散布在一个具有一定体积的物体之中,大家可以在物体内任取一点,围绕该点做体元Dt,其中包含的电量若为Dq,则不断缩小Dt,比值Dq /Dt 的极限就定义为该点的体电荷密度,即

                      .                   (10-9)

值得注意的是,在上面的数学表示式中,Dt趋于零,从物理上说是不适宜的。因为电荷都是由电子和质子这样一些微观粒子所携带,如果Dt缩为一点正好落在这样的带电粒子上,r 将为很大的值,而如果落在电子或质子以外的空旷区域,r 将为零。所以,Dt 应该趋于某个小区域,这个小区域在宏观上看是非常小的,而在微观上看仍然是很大的,包含了大量微观带电粒子。这样的小区域可称为物理无限小,由式(10-9)所确定的电荷密度则是物理无限小区域内的平均值。

    如果电荷作体分布,大家可以把带电体分割为很多很小的体元Dt,体元内包含的电荷可视为点电荷,根据式(10-9)可表示为

                           dq = r Dt                  (10-10)

将式(10-10)代入式(10-8),整个带电体在空间任意一点产生的电场强度就可以表示为

                         ,               (10-11)

上式积分要对整个带电体进行。

    如果电荷沿平面或曲面分布,即带电体是一平面或曲面,这时可仿照体电荷密度表达式(10-9),定义面电荷密度

                            ,                        (10-12)

式中dq是面元dS上的电量。对于这样的带电体,式(10-8)可以写为

                      ,                 (10-13)

上式积分要对整个带电面进行。

    如果电荷沿直线或曲线分布,即带电体是一细线,这时可引入线电荷密度

                            ,                       (10-14)

式中dq是线元dl上的电量。对于这样的带电体,式(10-8)可以写为

                         ,               (10-15)

上式积分沿整个带电细线进行。

       
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