例题10-2  如图10-5所示,有两个电量相等而符号相反的点电荷+q和-q,相距l。求在两点电荷连线的中垂面上任一点Q的电场强度。

图 10-5

    解  以l的中点为原点建立坐标系,如图所示。设点Q到点O的距离为r。电荷+q和-q在点Q产生的电场强度分别用 表示,它们的大小相等,为

     ,

它们的方向如图所示。

    点Q的电场强度E应为E+ E- 的矢量和,即

                           E = E++ E- .

Ex分量为

                    E = (E+)x+ (E- )x = -E+ cosq -E- cosq .         

由图10-5可知

                        ,

                    .

Ey分量为

               .

所以,点Q的电场强度E的大小为

                    ,

E的方向沿x轴的负方向。

    当r >>l时,由这样一对电量相等、符号相反的点电荷所组成的系统,称为电偶极子。从负电荷到正电荷所引的有向线段l称为电偶极子的轴。电荷q与电偶极子的轴l的乘积,定义为电偶极子的电矩,用p表示,即

                                 p = q l .                         (10-16)

由于r >>l,故有 ,所以在电偶极子的轴的中垂面上任意一点的电场强度可以表示为

                             .

图 10-6

    例题 10-3  有一均匀带电的细直棒,长度为L,所带总电量为q。直棒外一点P到直棒的距离为a,点P至直棒两端的连线与直棒之间的夹角分别为ab,如图10-6所示。求点P的电场强度。

    解  大家可以把点P到直棒的垂足O取作坐标原点并建立坐标系,如图所示。因为电荷在直棒上是均匀分布的,所以线电荷密度可以表示为

.

在棒上x处取棒元dxdx到点P的距离为ldx所带电量为dq,并且dq=ldx 。dq在点P产生的电场强度的大小为

                              ,                          (1)

dE的方向如图所示。因为dEx轴正方向的夹角为q,所以dE 的两个分量分别为

                             ,                          (2)

                             .                           (3)

    在dEx和dEy中包含的变量有xlq,实际上这三个变量是相互联系的,可以用一个变量来表示。由图10-6可见,xlq 的关系分别为

                        ,                           (4)

                                .                                   (5)

由式(5)得

                        .                    (6)

把式(4)和式(6)代入式(2)和式(3),得

                          

对以上两式积分,得

          

              ,                               (7)

            

                .                               (8)

    如果此均匀带电细棒是无限长的,则a = 0,b = p,代入式(7)和式(8),得

                                 Ex = 0 ,

                             .

这说明,此时点P的电场强度只有y分量,电场强度的大小与棒的线电荷密度l成正比,与点P离开棒的距离a成反比。

       
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