三、高斯定理

    高斯定理是这样表述的:通过任意闭合曲面S的电通量,等于该闭合曲面所包围的电量除以e 0,而与S以外的电荷无关,即可以表示为

                       ,               (10-24)

式中 表示对闭合曲面S内部的电荷求代数和。该闭合曲面S通常称为高斯面。高斯定理是电磁理论的基本方程之一,它反映了电场强度与电荷之间的普遍关系。下面大家来证明这个定理。

    1. 点电荷q被半径为r的球面所包围,并且q处于球心:

    显然,在这样的球面上任意一点,E和dS的方向一致,都沿着半径向外。通过整个球面的电通量应为

        F=

                     = ,                (10-25)

与高斯定理给出的结果一致。上面的计算过程和结果向大家表明:第一,高斯定理的成立与库仑定律满足平方反比律密切相关;第二,点电荷q对于包围它的球面的电通量只与该点电荷的电量有关,而与包围它的球面的半径r无关,这就是说,点电荷q发出的电场线总条数是q /e 0 ,无论用多大的球面去包围它,总有全部电场线无一遗漏地从球面内穿出。这也表明,  

电场线不会在没有电荷的地方中断或闭合,而一直延伸到无限远。

    2. 任意闭合曲面S包围点电荷q

图 10-11

    这时大家以q所在点为中心,分别作两个同心球面S1S2 ,并使S1S2分别处于闭合曲面S的内部和外部,如图10-11所示。根据上面的讨论,穿过球面S1S2的电场线的条数都为q /e 0 ,穿过球面S1又穿过球面S2的电场线,必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电场线条数,即电通量必然为q /e 0 ,即

          Fe = .

可见,对于包围着一个点电荷的任意闭合曲面,高斯定理是成立的。

    3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1q2、…、qn

    根据电通量的定义和电场强度的叠加原理,通过闭合曲面S的电通量可以表示为

           Fe =

              =

              = Fe 1 +Fe 2 + … +Fe n ,                      (10-26)

这表示,闭合曲面S的电通量,等于各个点电荷对曲面S的电通量的代数和。可见电通量也满足叠加原理。根据上一条的结论,通过闭合曲面S的电通量应为

                 Fe = ,

图 10-12

这表示,对于包围多个点电荷的任意闭合曲面,高斯定理是正确的。

    4. 任意闭合曲面S不包围电荷点电荷q处于S之外:

    在前面的讨论中已经得出结论,电场线不在没有电荷的地方中断,而一直延伸到无限远。所以由q发出的电场线,凡是穿入S面的,必定又从S面穿出,如图10-12所示。于是穿过S面的电场线净条数必定等于零,即曲面S的电通量必定等于零,与高斯定理的结论一致。

    5. 多个点电荷q1q2、…、qn,其中k个被任意闭合曲面S所包围,另外n-k个处于S面之外:

    根据上一条的证明,闭合曲面S外的n-k个电荷对S面的电通量无贡献,S面的电通量只决定于其内部的k个电荷,并应表示为

                   F= .

可见,对于这种情形,高斯定理也是成立的。

    6. 任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体:

    这时,可以把带电体划分成很多很小的体元dt,体元所带的电荷dq = r dt可看作点电荷,与上面第3条的结果一致,不过这时S的电通量可表示为

                 Fe = .             (10-27)

上式中的体积分应对高斯面S所包围的体积t 进行。

    以上大家用较为简便的方法证明了高斯定理。

    应该指出,在高斯定理的表达式(10-24)中,等号右端的 是包围在高斯面内的电荷的代数和,而左端的E却是空间(包括高斯面内和高斯面外)所有电荷在高斯面上产生的合电场强度。这就是说,高斯面以外的电荷只对高斯面上的电场强度有贡献,而对高斯面的电通量无贡献。由此可以断定,高斯面内若无电荷,高斯面上的电场强度不一定处处为零,而若高斯面上的电场强度处处为零,高斯面内必定不包围电荷。

    根据矢量分析中的高斯定理,可以将式(10-27)写成下面的形式

                        ,                      (10-28)

上式是高斯定理的微分形式。

    在静电学中,常常利用高斯定理来求解电荷分布具有一定对称性的电场问题。

       
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