图 10-13

    例题10-4  一无限长均匀带电细棒,其线电荷密度为l。求距细棒为a处的电场强度。

    解  以细棒为轴作一个高为l、截面半径为a的圆柱面,如图10-13所示。以该圆柱面为高斯面,运用高斯定理。由于对称性,圆柱侧面上各点的电场强度E的大小处处相等,方向都垂直于圆柱侧面向外。通过这个圆柱面的电通量,应等于通过圆柱侧面的电通量和通过两个底面的电通量的代数和,但是由于电场线与两个底面的法线相垂直,电通量为零。这样,通过这个圆柱面的电通量就只是通过其侧面的电通量,即

                  .

由此可以求得与细棒相距a处的电场强度的大小为

                             .

这个结果与例题10-3中将长度为L的带电细棒外推到无限长时的结论完全一致,而在这里用高斯定理求解要简便多了。

    例题10-5  电荷均匀地分布在一个半径为R的球形区域内,体电荷密度为r。求空间各点的电场强度。

图 10-14

    解  大家先来求球外空间任意一点A的电场强度。如果点A距离球心Or1 ,则以O为中心、以r1 为半径作球形高斯面,如图10-14所示。对这个高斯面运用高斯定理,得

          ,

根据对称性,该球面上各点的电场强度大小相等,方向都沿球面在该点的法线方向,所以上式可化为

           ,

由此求得

               .

若用总电量Q表示,可将Q = 4pR3r / 3 代入上式,得

                              ,

写成矢量,为

                              .

可见,对于球外各点的电场强度,就像把总电量集中在球心所得的结果一样。

    现在求球内任意一点B的电场强度。如果点B距离球心Or2 ,大家可以O为中心、以r2为半径作球形高斯面,见图10-14。对这个高斯面运用高斯定理,得

                          ,

这个高斯面上的电场强度分布也满足球对称的特点,上式可化为

                            .

故得

                               .                                                                                                               

上式表示,在均匀带电的球体内部任意一点,电场强度的大小与该点到球心的距离成正比。若用总电量Q来表示,则为

                             ,

写成矢量形式,为

                              .

    图10-14的下半部分表示了均匀带电球体在空间各点产生的电场强度随到球心距离的变化情形。

       
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