§10-4  电势及其与电场强度的关系

    电场强度矢量反映了静电场的力的性质。静电场的另一方面的性质,即能的性质,是由电势这个量来反映或描述的。电场强度和电势这两个描述静电场性质的物理量,既有差异又有联系。

    一、静电场属于保守场

    在§2-3势能一节中大家曾经阐明,凡是保守力都具有这样的特点,即它所作的功只与运动物体的始、末位置有关,而与物体运动的路径无关;从而可以引入一个与位置有关的势能函数,物体由始位置到末位置的过程中,该保守力所作的功必定可以表示为势能函数增量的负值。如果静电力是保守力,或者说如果静电场是保守场,那么静电力所作的功必定只与运动电荷的始、末位置有关,而与电荷运动的路径无关;从而也可以引入一个与位置有关的电势能函数,把电场力所作的功表示为电势能函数增量的负值。下面大家先证明静电场是保守场,然后引入电势能。

    将试探电荷q0引进由点电荷q所产生的电场中,让大家考查试探电荷q0沿任意路径L由点P移到点Q时,电场力所作的功。图10-15表示,点P和点Q到场源电荷q的距离分别为rPrQ,而在路径上的任意一点Cq的距离为r,此处的电场强度为

图 10-15

            .

如果试探电荷q0在点C附近沿L移动了位移元dl,那么电场力所作的元功为

      

式中q是电场强度E与位移元dl 之间的夹角,dr是位移元dl 沿电场强度E方向的分量。试探电荷q0由点P移到点Q电场力所作的总功为

        .                                                             

上式表明,在由点电荷q产生的电场里,试探电荷q0在运动过程中,电场力所作的功只与始点和末点的位置有关,而与运动路径无关。这就是说,点电荷所产生的电场是保守场。

    任何一个带电体都可以看成为由许多很小电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷。整个带电体在空间产生的电场强度E等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和,即

                      E = E1+ E2+ … + En .

在电场强度为E的电场里,试探电荷q0从点P移动到点Q电场力所作的总功可以表示为

          

既然E 1E 2、…、E n 是各个点电荷单独产生的电场强度,那么q0 E1q0 E2 、…、q0 En 就是试探电荷在各个点电荷单独产生的电场里所受到的电场力。所以,上式中的每一项积分都表示q0在各个点电荷单独产生的电场里从点P移到点Q电场力所作的功。上面已经证明,每一项电场力所作功都与路径无关,电场力所作的总功A也必定与路径无关。于是大家得到这样的结论:在任何静电场中,电荷运动时电场力所作的功只与始点和末点的位置有关,而与电荷运动的路径无关。这就表明,静电场是保守场。

    在§2-3中,大家曾经把保守力的特征用下面的数学形式表示

                          .

其物理意义是,物体在保守力作用下沿任意闭合路径L运行一周,保守力所作的功恒等于零。试探电荷q0从任意一点出发,沿任意闭合路径运行一周又回到该点,电场力所作功也必定等于零,即

                          .                (10-29)

于是得

                           .                  (10-30)

上式表示,在静电场中,电场强度沿任意闭合路径的环路积分等于零。静电场的这一特性,称为静电场的环路定理。

       
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