三、电势的计算

    1. 在单个点电荷产生的电场中任意一点的电势:

    空间有一点电荷q,求与它相距r的点P的电势。根据式(10-34),点P的电势应为

                         .

因为上面的积分与路径无关,大家选择从点电荷q到点P的连线r的延长线作为积分路径,所以

         .      (10-35)

式(10-35)表示,在点电荷电场中任意一点的电势,与点电荷的电量q成正比,与该点到点电荷的距离r成反比。当点电荷q为正号时,VP为正值;当点电荷q为负号时,VP为负值。这就是说,当选择无限远处为电势零点时,正点电荷电场的电势恒为正值,负点电荷电场的电势恒为负值。

    2. 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势:

    空间有n个点电荷q1q2、…、qn ,求任意一点P的电势。这时点P的电场强度E等于各个点电荷单独在点P产生的电场强度E 1E 2、…、En的矢量之和。所以点P的电势可以表示为

                    

式中EiVi分别是第i个点电荷qi单独在点P产生的电场强度和电势。因此上式表示,在由多个点电荷产生的电场中,任意一点的电势等于各个点电荷在该点产生的电势的代数和。电势的这种性质,称为电势的叠加原理。如果第i个点电荷到点P的距离为ri,那么

                     ,

所以点P的电势为

                     .             (10-36)

    3. 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势:

    这时大家仍然可以把带电体看为很多很小电荷元的集合体。每个电荷元在空间某点产生的电势,与相同电量的点电荷在该点产生的电势相等。整个带电体在空间某点产生的电势,等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和。所以,式(10-36)中的求和号可用积分号代替,即

                       ,                  (10-37)

式中r是电荷元dq到所讨论的点P的距离。

    在处理具体问题时,大家可以根据电荷在带电体上的分布情况,分别引入体电荷密度r、面电荷密度s 和线电荷密度l,它们分别由式(10-9)、(10-12)和式(10-14)所表示。这时式(10-37)可分别写为

                      ,                 (10-38)

                      ,                  (10-39)

                         .                  (10-40)

在计算电势时,如果已知电荷的分布,尚不知电场强度的分布,总可以利用式(10-38)至式(10-40)直接计算电势。对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出电场的分布,然后通过式(10-34)来计算电势。

       
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