五、电势与电场强度的关系

    电场强度和电势都是描述电场的物理量,即它们是同一事物的两个不同的侧面,它们之间应存在一定关系。实际上,本节式(10-34)已经反映了这种关系,通过这个关系可以由电场强度的分布求得电势的分布。前面大家已经说过,在实际问题中往往需要由测得的电势(或等势面)分布情况去估计电场强度的分布情况。因此,在理论上建立一个由电势分布求电场强度的关系式,就变得十分重要了。

    一个在电场中缓慢移动的电荷,电场力若作正功,该电荷的电势能必定降低,电场力若作负功,该电荷的电势能必定升高。现有一试探电荷q0在电场强度为E的电场中作位移dl,由于dl很小,在dl的范围内可以认为电场是匀强的。如若q0完成了位移dl 后,电势增高了dV,则其电势能的增量为q0 dV,这时电场力必定作负功,因而有

                       q0 dV = -q0 E×dl ,

                        dV = -E dl cosq .

式中q 是电场强度E与位移dl之间的夹角。由此大家可以得到

                         .

上式等号左边Ecosq 就是电场强度E在位移dl方向的分量,用El 表示;等号右边是电势沿位移方向的变化率,是V沿dl方向的方向微商,而方向微商是偏微商,负号表示E指向电势降低的方向。于是上面的关系可以写为

                          .                    (10-41)

此式表示,电场强度在任意方向的分量,等于电势沿该方向的变化率的负值。根据式(10-41),在直角坐标系中E的三个分量应为

              .           (10-42)

电场强度矢量可以表示为

                ,                (10-43)                                                     

式中算符 的具体形式为

                      .              (10-44)

若已知空间各点的电势分布,则可根据式(10-42)求得电场强度E的三个分量,并由式(10-43)得出电场强度矢量E(x,y,z)

    式(10-43)中的 称为电势梯度,具体地写为

                    .            (10-45)

图 10-18

为弄清电势梯度的物理意义,让大家看一下图10-18。图中所画曲面是等势面,其法线方向单位矢量用n表示,指向电势增大的方向。电场强度E的方向沿着n的反方向。根据式(10-41),电场强度的大小可以表示为

             ,

电场强度矢量必定可以表示为

            .     (10-46)

比较式(10-46)和式(10-43),可以得到

                           .                    (10-47)

由此可见,电势梯度是一个矢量,它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化率,它的方向沿着电势增大的方向。

    由式(10-41)可以得到电场强度的另一个单位,即V×m-1 (伏特/米)。

       
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