例题 10-6  半径为R的球面均匀带电,所带总电量为q。求电势在空间的分布。

    解  先由高斯定理求得电场强度在空间的分布:

在球内(r < R )   

                                 E1 = 0 ,

在球外(r > R )

                             ,

方向沿球的径向向外。

    对于球内的任意一点,若距球心为r (< R ),电势为

      .                                                                                                                           

    对于球外的任意一点,若距球心为r (> R ),则电势为

                 .

图 10-19

以上结果表明,在球面外部的电势,如同把电荷集中在球心的点电荷的情形相同。在球面内部,电势为一恒量。图10-19表示了电势随离开球心的距离r的变化情形。

    对于具有一定对称性、并可用高斯定理方便地求得电场强度分布的问题,可以通过式(10-34)由电场强度分布求得电势分布。但对于一般问题,却往往采取相反的步骤:先根据电荷的分布由式(10-37)求得电势的分布,然后再由式(10-43)求出电场强度的分布。

    例题10-7  计算电偶极子电场中任意一点P的电场强度。

    解  两个电量相等、符号相反并相距l的点电荷+q和-q,构成一个电偶极子。设点P到+q和-q的距离分别是r1r2,而点P到电偶极子轴心的距离为r,如图10-20所示。以电偶极子的轴心O为坐标原点,建立极坐标系,点P的坐标为( r,q )。点P的电势可写为

图 10-20

              .

在一般情况下,r1r2r都比l大得多,可近似地认为

            r1 r2 = r2r2r1 = l cosq ,

其中qrl之间的夹角。利用上面的两个近似关系,点P的电势可表示为

        

式中p = ql是电偶极子的电矩。

    在极坐标中电场强度的两个分量应分别表示为

                     .

将电势的表示式代入上两式,分别求得电场强度的两个分量

                       

在电偶极子轴的中垂面上,q = p/2,  Er = 0,所以电场强度为

                         .                                                                              

与例题10-2的结果一致。

       
XML 地图 | Sitemap 地图