五、电介质存在时的高斯定理

    真空中的高斯定理表示为

                       ,

式中 是包围在高斯面S内的电荷的代数和。因为真空中不存在极化电荷,所以 都是自由电荷。而现在电场中有电介质,高斯面内可能同时包含这两种电荷,高斯定理应表示为

                   ,          (10-68)

式中 分别是包围在高斯面S内的自由电荷的代数和和极化电荷的代数和。极化电荷是极化以后出现的,一般是未知量,它在方程式中的出现使求解过程变得复杂了,所以必须设法把它从方程式中消除,用可以预先得知的量去代替。

    将式(10-59)代入式(10-68),整理后得

                    .             (10-69)

引入辅助物理量D,定义为

                         D = e 0E + P ,                      (10-70)

称为电感应强度矢量,或电位移矢量。在真空中,电感应强度等于电场强度的e 0倍。对于各向同性的电介质,可将式(10-63)代入式(10-70),得

                        D =e0er E =e E .                   (10-71)

上式表示,对于各向同性的电介质,电感应强度矢量与电场强度同方向,并存在正比关系。

    将式(10-70)代入式(10-69),就得到

                      ,                     (10-72)

或者

                     ,                    (10-73) 

式中r 0是自由电荷的体密度,tS所包围的体积。以上两式就是有电介质存在时的高斯定理,也就是高斯定理的普遍形式,它表示,对于任一闭合曲面电感应强度的通量,等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。利用这个公式,可以避开极化电荷的影响而方便地处理具有一定对称性的静电场问题。利用矢量分析中的高斯定理[见附录(二)],可以将式(10-73)化为

                         ,                     (10-74)

式(10-74)是有电介质存在时高斯定理的微分形式。

       
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