六、边界条件

图 10-35

    在两种不同的电介质分界面两侧,DE一般要发生突变,但必须遵循一定的边界条件。下面大家根据高斯定理和静电场的环路定理导出这种边界条件。

    在两种相对电容率分别为e r1e r2的电介质分界面处,作一扁平的柱状高斯面, 使其上、下底面(面积为DS)分别处于两种介质中,并与界面平行,柱面的高很小, 如图10-35所示。取界面的法向单位矢量n的方向从第一种介质指向第二种介质。假设在界面上不存在自由电荷,对此高斯面运用高斯定理,得

              ,

                        n×(D2 -D1 ) = 0 ,

                           D1n = D2n ,                    (10-75)

上式表示,从一种介质过渡到另一种介质,电感应强度的法向分量不变。

    在上述两种介质分界面处作一矩形回路ABCDA,使两长边(长度为Dl )分别处于两种介质中,并与界面平行,短边很小,如图10-36所示。取界面的切向单位矢量t的方向沿界面向上。由静电场的环路定理得

    ,

             n´(E2 -E1 ) = 0 ,   

图 10-36

               E1t = E2 t .         (10-76)

上式表示,从一种介质过渡到另一种介质,电场强度的切向分量不变。

    例题 10-10  半径为R的金属球带电量Q,球外同心地放置相对电容率为e r的电介质球壳,球壳的内、外半径分别为R1R2 。求空间各点的电感应强度D、电场强度E以及电介质球壳表面的极化电荷密度s ¢

    解  这类问题的一般求解步骤是:

    (1) 根据自由电荷的分布,利用高斯定理的普遍形式求出电感应强度矢量D

    (2) 根据DE 的关系,求出电场强度E

    (3) 根据各向同性电介质的性质,由电场强度E 求出极化强度P

    (4) 最后利用Ps ¢ 的关系求出介质表面上极化电荷的分布。

    应该注意,在利用以上步骤求解以前,必须先审查一下电荷和电介质的分布是否满足用高斯定理唯一求解所要求的对称性。本题中电荷和电介质的分布都是球对称的,符合所要求的对称性。

    以金属球心为中心、以大于R的任意长r为半径作球形高斯面,如图10-37中虚线所示。由高斯定理可求得

图 10-37

               ,

D 的方向沿径向向外。高斯面可取在金属球与电介质球壳内表面之间(R < r < R1),可取在电介质内部(R1 < r <R2),也可取在电介质球壳之外的空间(r >R2),上式对于金属球以外的整个空间都是适用的。

    在R < r < R1r >R2的区域,不存在电介质,e r = 1,有

                          .

R1< r < R2 的区域,存在电介质,所以

                        .

各处E 的方向与D 的方向相同。

    电介质的极化强度P 只存在于极化了的电介质球壳中,并由下式表示

                         P = ce e 0 E = e 0 (e r-1) E ,

可见P 的方向与E 相同。P 的大小为

                      .

也可以根据公式D =e 0E + P 来求P,得

               ,

与上面的结果相同。

    极化电荷出现在电介质球壳的内、外表面上。在内表面,r =R1n指向球心,所以

                    ,

在外表面,r = R2n沿径向向外,所以

                       .

电介质无论极化与否整体总是电中性的,所以电介质球壳内表面上的负极化电荷总量的绝对值必定等于外表面上的正极化电荷总量。在内表面上的负极化电荷总量为

              ,

在外表面上的正极化电荷的总量为

               .

正、负极化电荷的总量确实相等。

       
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