三、高斯定理(§10-3)

    1. 电场线

    (1)  电场线是这样的一些曲线:

    a)  曲线上每点的切线方向与该点的电场强度的方向一致;

    b)  在与电场强度垂直的单位面积上,穿过曲线的条数与该处电场强度的大小成正比,即曲线分布稠密的地方电场强度大,曲线分布稀疏的地方电场强度小。

    (2)  电场线的性质:

    a)  起于正电荷(或无限远),止于负电荷(或无限远)

    b)  不闭合,也不在没有电荷的地方中断;

    c)  两条电场线在没有电荷的地方不会相交。

    尽管如此,电场线仍然是一些虚构线,引入这些虚构线的目的,是为直观、形象地表示电场强度的分布。

    2. 电通量

    曲面S上任意一点的电场强度E与该点处的面元dS的标积(E×dS)在整个曲面S上的代数和,即

                          ,

就是曲面S的电通量。关于这个概念,应注意以下几点。

    (1)  电通量是一个抽象的概念,如果把它与电场线联系起来,可以把曲面S的电通量理解为穿过曲面S的电场线的条数。这样就赋于了电通量以形象、直观的物理图象。

    (2)  从电通量的定义式可以看到,电通量Fe是标量,并且有正、负之分。Fe 的正、负决定于曲面S的法线方向的选取。对于非闭合曲面,法线可以取两个完全相反的方向,因此该曲面的电通量可以是正值,也可以是负值,正值和负值的物理本质没有差异。对于闭合曲面,一般规定指向外部空间的法线方向为正方向,这样,电通量的正、负值表示了不同的物理涵义。Fe > 0表示有电场线穿出该闭合面,Fe < 0表示有电场线穿进该闭合面,Fe = 0表示没有电场线穿过该闭合面,或者穿出和穿进该闭合面的电场线的条数相等。

    3. 高斯定理

    通过任意闭合面S的电通量,等于该闭合面所包围的电荷的代数和(电量)除以e 0,即

                         ,

这就是高斯定理。它不仅是静电学中的一个基本定理,也是普遍电磁场理论的重要组成部分。在理解和掌握高斯定理时应注意以下问题。

    (1)  定理中的E是高斯面上任意一点的电场强度,它是由空间所有的电荷(包括高斯面以内的电荷和高斯面以外的电荷)共同产生的;定理中的是包围在高斯面内部的电荷的代数和,与高斯面以外的电荷无关。可见,当高斯面内电荷的代数和为零时,高斯面上的E并不一定处处为零;当高斯面上电场强度处处为零时,高斯面内部电荷的代数和一定为零。

10-1

    (2)  上面大家说高斯定理中E是空间所有电荷共同在高斯面上产生的电场强度,下面让大家进一步讨论这个问题。假如空间有n个点电荷q1q2,…,qk qk+1,…,qn,其中k个电荷q1q2,…,qk处于高斯面S的内部,(n - k)个电荷qk+1,…,qn 处于高斯面S的外部,如图10-1所示。这n个电荷在高斯面上任意一点产生的电场强度为E,则根据高斯定理应有

           .        (1)

如果包围在S面内的k个电荷在高斯面上产生的电场强度为E¢,处于S面以外的(n-k)个电荷在高斯面同一点上产生的电场强度为E",那么应有

               .

(1)可以改写为

                     ,

或写为

                   .            (2)

根据高斯定理,由S面以外的(n - k)个电荷对S面的电通量必定等于零,

                          .                    (3)

将式(3)代入式(2),得到

                       .                 (4)

因为式(3)对处于高斯面以外的电荷总是成立的,所以式(4)也总是正确的。这样,由式(1)和式(4)大家可以得出下面的结论:由高斯面内、外所有电荷共同在高斯面上产生的电通量与由高斯面内部电荷在高斯面上产生的电通量是相等的。也就是说,由高斯面内、外所有电荷共同在高斯面上产生的电场强度与由高斯面内部电荷在高斯面上产生的电场强度,分别满足式(1)和式(4),它们是完全相同的数学表达式。

    (3)  有的读者可能会从式(1)和式(4)的比较中得到的结论,这是一个非常有意思的结论,有必要作更深入的讨论。

    大家应该看到,EE ¢都是矢量,都包含了三个未知量,例如,在直角坐标系中可以表示为

                        ,

                         .

要确定EE' 都各需要三个联立方程式,而式(1)只是确定E所必须的三个联立方程式中的一个,式(4)只是确定E ¢所必须的另外三个联立方程式中的一个。大家绝对不能由于这两组联立方程中有一个式子相同,就得出这两个未知量相等的结论。

    (4)  既然在确定EE' 所需要的两组联立方程式中有一个式子是相同的,这就预示着EE' 有相等的可能性。

    那么在什么情况下,EE' 会相等呢?显然,当高斯面外无电荷时,它们必定相等,这种情况是没有必要讨论的。大家所要讨论的是高斯面内、外同时都分布着电荷的情况。

    从数学上来看,如果EE' 中各自包含的三个未知量退化为一个,那么求解EE' 都只需要一个方程式就够了,即由方程式(1)可以完全确定E,由方程式(4)可以完全确定E'。这时大家才可以说

                              .

    那么三个未知量退化为一个的情况什么时候才会出现呢?显然这是电荷分布具有一定对称性的情况。例如,电荷沿无限大平面均匀分布的情况,适当选取坐标轴的取向,无论E还是E' 都只包含一个未知量,用高斯定理就可以求解。除此之外,当电荷分布具有球对称或者轴对称时,EE' 也都只包含一个未知量,可以用高斯定理惟一求解。

    (5)  高斯定理表明,任何闭合曲面S的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷,而与S以外的电荷无关。现在有人问:如果有一个点电荷正好处于该闭合曲面S上,那么这个点电荷对S面的电通量是否有贡献?请读者先自己思考一下,然后再看下面的分析。

    这里涉及了一个重要概念,就是前面所讨论的点电荷概念。大家曾说过,在讨论电场中一场点的性质时,场源电荷自身的线度比起场点到此电荷的距离小得多,这个场源电荷可以视为点电荷。现在这个场源电荷就处在高斯面上,所讨论的场点就是这个高斯面上的任意一点,显然,这个电荷无论怎样小都不能认为是点电荷了。而高斯定理中所说的“高斯面”,则是几何面,是没有厚薄的。任何微小的带电体被一个面所截,必定是一部分处于面的一侧,另一部分处于面的另一侧,它所带的电荷也必然相应地被分割成两部分。所以,任何几何面上有电荷的说法,在物理上都是不成立的。

    大家再回到所讨论的问题上来。处于高斯面S上的这个电荷,实际上是一个被高斯面所截的带电体。被截在高斯面内部的带电部分对S面的电通量有贡献,被截在高斯面外部的带电部分对S面的电通量无贡献。

    弄清了以上概念,才算理解了高斯定理。熟练运用的问题,则要靠多练习来解决。

       
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