四、电势及其与电场强度的关系(§10-4)

    1. 静电场属于保守场

    (1)  静电场属于保守场的充分而必要条件是,电荷在电场中移动,电场力所作的功只与该电荷的始、末位置有关,而与它所经历的路径无关。

    由此可以得到静电场的环路定理,即

                           .

    (2)  保守场的基本性质:

    a)  存在一个只与电荷在电场中的位置有关的势能函数,称为电势能;

    b)  静电力所作的功可以表示为电势能增量的负值。

    这种情形与力学中的重力场、引力场等情形完全相似,读者可以将两者联系起来学习。

    2. 电势能、电势差和电势

    电势是从能量方面反映电场性质的物理量,而这个物理量是根据静电场属于保守力场这一基本性质引入的。

    根据保守场的性质,必然存在一个势能函数,称为电势能,静电力所作的功可以表示为电势能增量的负值。于是,就相应地引入了电势差和电势的概念。下面大家从不同方面来阐明这些概念。

    (1)  电势能:试探电荷q0在电场强度为E的电场中PQ两点的电势能之差WP - WQ,等于将电荷q0P点移至Q点电场力所作的功,即

                         .

对于这一关系,应注意以下几点。

    a)  等号左边若是P点与Q点的电势能之差,等号右边的积分限必定是从P点积到Q点。如果等号左边是Q点与P点的电势能之差,那么等号右边的积分限一定是从Q点积到P点,或者积分限仍然是从P点积到Q点,但必须在积分号前加一负号,即

                   .

注意到这些规律,可以帮助大家记忆。

    b)  试探电荷q0P点移到Q点的过程中,电场力若作正功,即

                           ,   

电势能一定降低,必有WP >WQ;电场力若作负功,即外力克服电场力而作功,即

                           ,

电势能一定升高,必有WP < WQ

    在上述规律中,如果改变试探电荷q0的符号,那么电场力所作功的符号要改变,WP WQ之间的大小关系也相应改变。

    c)  电荷在电场中两点的电势能之差完全由电场力所作的功决定,具有绝对意义,而电荷在电场中一点的电势能只具有相对意义,即总是相对于电势能零点而言的。而电势能零点的选择,与电势零点的选择一致,将在下面讨论。

    (2)  电势差和电势:由上述可见,电场中两点的电势能之差不仅决定于电场的性质,而且与引入电场中的试探电荷q0有关,但电势能之差与试探电荷q0之比,却与试探电荷q0无关,而只取决于电场中这两点的性质,故将此比值定义为电场中这两点的电势差,即电场中P点与Q点的电势差可以表示为

                    .

这里应指出以下几点。

    a)  电势差的定义与电场强度的定义有相似之处,即它们分别为电势能差与试探电荷之比和电场力与试探电荷之比。这两个比值又都决定于电场自身的性质,而与外界因素无关。

    b)  P点与Q点的电势差,写为VP - VQ,对应于从P点移到Q点电势的降低,电势的降低称为电势降落,也就是以后要经常使用的电压的概念。所以,电压为正,表示电势降落为正,就是沿移动方问(或考察方向)电势是降低的,并且对应于电场力对单位正电荷作正功。

    c)  点电荷q在电场中从P点移到Q点,电场力所作的功APQ可以表示为

                         ,

也可以表示为

                         .

    d)  电场中两点的电势差完全由电场自身的性质所决定,有绝对意义,而电场中一点的电势只有相对意义,即相对于电势零点而言的。理论上,若电荷分布在有限空间内,可选择无限远处为电势零点。电场中任意一点P的电势可以表示为

                        .

这就是电场中任意一点电势的定义式。

    在处理实际问题时,常选大地的电势为零。

    e)  以上各式中的积分,都是从一点到另一点沿电场中的某一路径的积分,称为线积分。而电场是保守场,对于既定的始、末两点,积分与路径无关,所以可以选择简便易算的路径计算积分。

    f)  由于电场强度满足叠加原理,所以电势也必定满足叠加原理。

    3. 电势的计算

    常采用以下两种方法计算电势。

    (1)  根据电势的定义,由电场强度的分布求电势,即

                          .

式中积分是从所求场点P积到无限远。由于上式的积分与路径无关,所以在积分时可以选择最容易计算的路径。用这种方法求电势,需要先求得电场强度的分布,但在一般情况下求电场强度的分布比求电势的分布更困难。因此这种方法常用于电荷分布具有一定对称性的问题,此时电场强度的分布可以用高斯定理方便地求得。

    (2)  根据点电荷在空间产生的电势的规律,利用电势的叠加原理来求任意带电体在空间产生的电势。这就是把任意带电体看作为众多点电荷的集合体,其中每个点电荷产生的电势可按下式求得

                          ,

整个带电体在同一点产生的电势,等于所有点电荷dq在该点产生的电势的代数和,即

                          ,

                           .

由于电荷分布的具体方式不同,上式中的dq可以有不同的表示方法,因此得到了教材(上卷)中的公式(10-38)(10-39)(10-40)。与计算电场强度不同的是,这三个公式都是标量积分,可以直接进行积分,这就是电势的计算比电场强度的计算简便之处。

    4. 等势面

    (1)  电场中电势相等的点连成的曲面,就是等势面。等势面形象地表示了电场中电势的分布。

    (2)  等势面的性质:

    a)  电荷沿等势面移动,电场力不作功;

    b)  等势面与电场线处处正交。

    5. 电势与电场强度的关系

    在教材(上卷)中大家推得了两个重要公式,他们分别是

                           

                   .

第二式中括号内的量称为电势的梯度,故电场强度等于电势梯度的负值。对于电势与电场强度的上述关系,应注意以下的问题。

    (1)  式中的负号是从哪里来的?

    从教材所给出的推导过程中大家已经看到,推导一开始就出现了负号:

                           .  

必须搞清楚这个负号的来历。大家知道,V代表电场中某点的电势,而dV作为一个数学符号是表示微增量,即电势的微小增加。q0dV则表示电荷q0位移dl之后电势能的微小增加。再看一下等式右边, q0,表示在电荷q0位移dl的过程中电场力所作的功,-q0则表示在电荷q0位移dl的过程中外力克服电场力所作的功。根据功与能的关系,外力克服电场力而作功才会使电荷的电势能增加,所以,q0dV应与-q0相等,而不应与q0相等。于是就出现了这个负号,并一直保持到最后的表示式中。

    有的读者常会发生这样的误解,即认为负号来自位移dl方向的选取,或认为是由于规定了等势面法向矢量n沿电势增加的方向所致,这些看法都是不对的。在大家的推导过程中既没有涉及dl究竟指向何方,更没有涉及等势面法向n的问题。

    (2)  负号的物理意义是什么?

    dV表示电势的微增量,-dV则表示电势的微减量。所以,在电场强度与电势关系的表示式中,负号表示电场强度E始终沿着电势降低的方向,或者说,电场强度E始终与电势梯度的方向相反。这两种说法的意思是相同的,因为电势梯度是沿电势增加的方向。

    (3)  在探讨电势梯度的物理意义时,大家得到了下面的关系:

                            ,

这个关系清楚地阐明了电势梯度的物理意义:电势梯度是一个矢量,它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化率,它的方向沿着电势增大的方向。

    (4)  电场强度与电势的上述关系,为由电荷的分布求电场强度提供了重要的方法。从上面的讨论中可以看到,电势的计算比电场强度的计算要简便,这是由于标量的积分比矢量的积分容易计算的缘故。所以在一般情况下,总是由电荷的分布求电势,然后再通过电场强度与电势的关系求得电场强度的分布。

       
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