七、静电场中的电介质(§10-7)

    1. 电介质的极化

    电介质就是平常所说的绝缘介质,这类材料常温下的电阻率在108~1018 W×m范围内。电介质的表面或体内出现宏观电荷的现象,称为电介质极化。

    (1)  由于电介质的种类很多,极化的情况也比较复杂,大家教材中讨论的只限于以下情况。

    a)  各向同性的电介质,就是沿着这种电介质的各个不同方向上,物理性质都相同。只有在各向同性的电介质中,极化强度P与电场强度E之间才有简单的正比关系:

                            .

式中ce为电介质的极化率。上式表示,在各向同性电介质中的任一点,在各个方向上,大小相同的电场强度所引起的极化强度的大小也是相同的,并且极化强度的方向总与电场强度的方向一致。

    b)  均匀的电介质,就是这种电介质的化学和物理性质各处一致。对于均匀电介质,极化电荷只出现在电介质表面上。对于不均匀电介质,极化电荷不仅出现在介质表面上,也出现在体内,大家一般不讨论这种情况。

    (2)  极化电荷与自由电荷的区别

    由于电介质极化而出现在电介质表面上(或体内)的宏观电荷,就是极化电荷;在外电场的作用下可以自由运动的宏观电荷,称为自由电荷。这两类电荷的差异表现在以下几方面:

    a)  极化电荷是束缚电荷的宏观表现,是束缚在晶格上的分子中的电子作微小位移,或整个分子作微小旋转所引起的,它的活动范围不能超出分子的线度;而自由电荷是由于原子或分子的电离或金属中的自由电子重新分布引起的,它的活动范围可以是整个物体,也可以在不同的物体之间;

    b)  极化电荷不能转移到其他物体,而自由电荷可以转移到其他物体;

    c)  极化电荷可以吸附导体中的自由电荷,但不能被中和,而自由电荷可以被中和。

    2. 极化强度矢量

    极化强度矢量是反映电介质的极化状态、描述电介质极化程度的物理量。关于这个物理量,希翼注意以下问题。

    (1)  极化强度矢量定义为单位电介质体积内分子电矩的矢量和,即

                             .   

可见,P矢量只存在于极化了的电介质中,而在未被极化的电介质中或真空中,必定有P = 0

    (2)  如果电介质中各处P的大小相等、方向一致,就说电介质是均匀极化的。本章中所讨论的电介质极化多属于均匀极化的情形。

    (3)  注意极化强度P和分子电矩p的联系和差异。

    3. 极化强度与极化电荷的关系

    (1)  极化强度P与极化电荷面密度s ¢的关系为

                            .

式中n为电介质表面外法线单位矢量。由Pn之间的夹角q可以判断s ¢的正、负:q  < p / 2 s ¢ > 0q > p / 2s ¢< 0q = p / 2s ¢= 0

    (2)  极化强度P与极化电荷q¢ 的普遍关系为

                          .

这表示,通过任一闭合面SP通量,等于S面所包围的极化电荷代数和的负值。

    (3)  对于均匀电介质,极化电荷只出现在电介质的表面上。

    (4)  显然,如果闭合曲面S完全处于均匀电介质的内部,而S内部不可能存在极化电荷,即

                             ,

那么根据上面的极化强度P与极化电荷q¢的普遍关系,必定有

                            .

    4. 极化电荷对电场的影响

    (1)  对于各向同性的电介质,极化强度P与电场强度E的关系为

                             .  

值得注意的是,式中的E是电介质内部的实际电场强度,或实际作用于电介质的电场的电场强度,它等于外加电场强度E0与由极化电荷产生的附加电场强度E ¢的矢量和,即

                             .

    (2)  在电介质内部,E ¢的方向总是与E0的方向相反,上式可以化为

                             .

并且E ¢的数值总是小于E0的数值,所以极化电介质内部的电场强度E的方向与E0的方向相同,数值小于E0,故把E ¢ 称为退极化场。

    (3)  将电介质插入电容器后,对电容器的各种参量的影响,是应该注意并熟练掌握的。这里大家以平行板电容器为例,把电介质对电容器性能的影响归结如下:

    a)  将相对电容率为e r的电介质充塞到平行板电容器中后,电容器的电容增大到原来的e r倍,即

                              .

式中C为充塞电介质后的电容,C0为真空时的电容。

    b)  当维持电容器两极板电压不变时,充塞电介质后,极板电荷增大到原来的e r倍,即

                              .

式中Q为充塞电介质后电容器极板上的电量,Q0为真空时电容器极板上的电量。

    c)  当维持电容器极板电量不变时,充塞电介质后,极板间电压下降到原来的1/e r,极板间电场强度也下降到原来的1/e r,即

                          .

式中UE分别为充塞电介质后极板间电压和电场强度,U0E0分别为真空时极板间电压和电场强度。从这一结果看,充塞电介质可以提高电容器的耐电压能力。

    d)  极板间为真空时,极板间电场强度与极板电荷面密度的关系为

                              ,

式中s 0为真空时极板电荷面密度,在维持电容器极板电量不变的情况下,充塞电介质后,s  =s 0,极板间电场强度与极板电荷面密度的关系为

                          ,

尽管这个关系是在维持电容器极板电量不变的情况下推得的,但是对于电容器电压不变的情况也是适用的,不过当电压不变时,应有

                              .

    5. 电介质存在时的高斯定理

    电介质存在时的高斯定理可以表示为

                           ,

这表示,通过任意闭合面S的电位移通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。这就是有电介质存在时的高斯定理,也就是高斯定理的普遍形式。

    (1)  这里应该注意的是,这个公式只表明D对任何闭合面的通量决定于自由电荷,而与极化电荷无关,并不表示D本身只决定于自由电荷,与极化电荷无关。在一般情况下,D是与极化电荷有关的,这可以从公式

                           

中看到。

    (2)  电位移矢量也称为电感应强度矢量,这个物理量是在求解电场时为了回避极化电荷而引入的一个辅助物理量。应从以下几方面理解和掌握这个物理量。

    a)  电位移矢量D与电场强度E、极化强度P的关系为

                            .

10-3

这个关系也就是电位移矢量D的定义式。为了看清这三个物理量的区别和联系,大家画了图10-3。在这个图中画出了一块电介质板放置在由平行板电容器产生的匀强电场中D线、e0E线和P线的示意图。由图(a)可以看出,D线起自于自由正电荷,终止于自由负电荷,在大家所画的对称性的情况下,D与极化电荷无关(这个问题将在下面讨论),因而D在电介质中和真空中没有差异。在图(b)中表示了e0E 线,可以看出,e0E 线起自于任何正电荷(包括自由电荷和极化电荷),在真空中e0ED相等,而在极化电介质内部,由于退极化电场与外电场方向相反,使e0E减弱了。P线的情形表示在图(c)中,由图可见,P线起自于极化负电荷,终止于极化正电荷,只存在于极化的电介质中,并且与e0E 之和等于D,在真空中P = 0。显然,将图10-3(b)(c)叠摞起来正好与图10-3(a)相同。

    b)  电位移矢量D与电场强度E的关系,可以从两式求得

                     .

这个关系表示,电位移矢量D与电场强度E之间存在简单的正比关系。当然,这个关系与公式一样,也只适用于各向同性的电介质。这个关系为回避极化电荷q ¢求解电场问题提供了可能性。

    (3)  必须指出,在一般情况下,电位移矢量D是与极化电荷有关的,这可以从公式D = e E中看出。但是,在某些特殊情况下,D有可能只决定于自由电荷而与极化电荷无关,这一点可以从高斯定理的普遍形式中得到启示:假如电位移矢量D可以利用高斯定理的普遍形式惟一求解,那么在D的表示式中一定不会出现极化电荷。

    (4)  在什么条件下D与极化电荷无关呢?

    在开始讨论真空中的高斯定理时大家曾说过,在电荷分布具有一定对称性的问题中,可以直接用高斯定理来求解电场。这里,大家再一次遇到了这个问题。如果能够根据自由电荷的分布利用高斯定理的普遍形式惟一求解D,那么电场的其他问题都可以相应解决。要根据自由电荷的分布求解D,也必须满足一定的对称性,这种对称性可以具体地表示为:

    a)  自由电荷的分布和电介质的分布同时满足三种对称性之一,即    平面对称、轴对称性或球对称。

    实际上,可以证明,在满足这三种对称性的任何一种的情况下,电介质的表面一定是等势面。所以,这三种对称性可以概括为“电介质的表面为等势面”。

    b)  电介质充满整个电场。关于这种对称性,请参考下面的例题10-4

    在满足以上对称性的情况下,可以利用高斯定理的普遍形式惟一求解电场问题,这时电位移矢量D与极化电荷无关,并可以表示为

                             ,

式中E0为自由电荷产生的电场强度。由上式和D =e 0e rE可得

                             ,

这表示,在上述条件下,自由电荷产生的电场强度是总电场强度的e r倍。         

    6. 边界条件

    (1)  用高斯定理可以得到在两种电介质的界面附近电位移矢量的法向分量连续,即

                             ;

    (2)  用静电场的环路定理可以得到在两种电介质的界面附近电场强度矢量的切向分量连续,即

                              .

       
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