[例题分析]

    例题10-1  一半径为R的圆盘均匀带电,面电荷密度为s,求圆盘轴线上与盘面相距a的一点P的电场强度。

      大家把这个问题的求解分成两步,第一步求圆盘上的一个任意同心圆环在P点产生的电场强度,第二步求整个圆盘在P点产生的电场强度。

10-4

    先进行第一步。以盘心O为坐标原点、以轴线为x轴,建立坐标系。在圆盘上以O为中心取一半径为r、宽度为 Dr的圆环,如图10-4所示。在圆环上任取一元段d ld l所带电量为

    .

d lP点产生的电场强度的大小为

                       ,     

d(DE)的方向沿d lP点的连线方向,如图10-4所示。显然,随着所取d l在圆环上的位置的不同,d (DE)的方向也不同。将d (DE )分解为沿着x轴的分量d (DEx )和垂直于x轴的分量d (DE^ )。由图可见,处于与d l同一直径上另一端的圆环元段d l¢,所带电荷在P点产生的电场强度为d (DE ¢ ),只要元段d l¢的长度与d l的长度相等,d(DE' )的大小必定与d (DE )的大小相等,它们沿x轴的分量d (DEx )d(DE ¢x)也相等,但垂直于x轴的分量d (DE^ )d(DE ¢^ )虽然大小相等,但方向相反,互相抵消。对于任一直径两端的元段都是这种情况。所以,整个圆环在P点产生的电场强度DE,就是分量d (DEx)的总和。如果qd (DE )x轴的夹角,则对于所取圆环上任一元段d lq都有相同的值,并且

                          .

所以,(DE )的大小为

         

                         .                       (1)

如果圆盘所带电荷为正,那么DE 的方向沿x轴的正方向。

     现在进行第二步。整个圆盘在P点产生的电场强度E就是圆盘所包括的各个大小不同的同心圆环在P点产生电场强度的矢量和。因为各个同心圆环在P点产生的电场强度的方向都与 DE相同,即都沿x轴正方向,所以可直接对DE积分,故得

           .       (2)         

这就是最后结果。

    这里有一个问题应特别提醒读者注意,就是由d (DE )(DE )和由DE E能否直接积分的问题。在由d (DE ) DE时,因为各个d (DE )的方向不同,不能直接积分,必须先将d (DE )分解为d (DEx )d (DE^ ),分别对d (DEx )d (DE^ )进行积分,得到DEx DE^然后求得

                        DE = DEx i+DE^ j,

由于DE^ = 0,所以

                            DE = DEx i.

    那么由 DEE能否直接积分呢?同样要根据各个 DE 的方向是否一致来确定。对于任何一个圆环来说,情况都与上面所取的那个圆环的情况相同,在P点产生的电场强度 DE的方向都沿着x轴的正方向,因而可以直接对DE积分求得E

    下面大家再来分析一下最后的结果。因为当a ® 0R ® ¥时,下式成

                ,

所以,在这两种情况下,都可以由式(2)得到

                           .                            (3)

从物理意义上看,如果P点无限地靠近圆盘,P点的电场强度与无限大带电平面一侧的电场强度相同。

10-5

    对于均匀带电的无限大平面,大家可以用高斯定理来求解,无限大平面两侧的电场线都与平面垂直,方向由平面指向外,如图10-5所示。取P点的对称点Q,以PQ ( = 2a )为轴作柱状高斯面,使PQ两点分别处于两个底面上。带电平面被包围在柱面内部的面积为SS与柱面的底面面积SPSQ相等。在底面SPSQ上,电场强度的大小处处相等,电场强度的方向与底面法线的正方向一致。而在柱面的侧面S'上,电场强度的方向处处与法线垂直,所以通过侧面的电通量为零。于是,通过整个柱状高斯面的电通量为

            .    

根据高斯定理,通过闭合柱面的电通量应等于所包围的电荷总量s S除以e 0,即

                            ,

由此解得

                             .

与上面所说的当a®0R®¥时的结果相同。显然,这里利用高斯定理求解要简便得多。

    例题10-2  半径为R的圆环均匀地带有电量q,求轴线上距离环心为x的一点的电势,并由电势求电场强度。

10-6

      以环心O为坐标原点、以轴线为x轴,建立坐标系,如图10-6所示。

    先求出圆环上一元段dl所带电量在P点产生的电势,然后对整个圆环进行叠加。不过dl应选得足够小,以致于对轴线上任意一点来说都可看作是点电荷,显然做到这一点并不困难。圆环上电荷线密度为

                             .

dlP点产生的电势为

                        .

整个圆环在P点产生的电势为

    .

这就是P点的电势。如果把x作为变量,则上式表示轴上任意一点的电势。

    上面求电势的方法是根据电荷的分布来求解的,这种方法的理论依据有两点,一是电势满足叠加原理,另一点是,当电荷分布在有限空间内时,认为无限远处电势为零。前一点是不容置疑的,电势是一定满足叠加原理的。必须注意的是第二点。如果电荷是分布在无限大空间的,例如,电荷分布在无限长线上,或分布在无限大面上,第二点依据就得不到满足,则不能用这种方法求解电势。这时必须根据电势的定义式求电势,即由电场强度的分布求电势,并且应根据题意合理地选择电势零点,而不能不加思考地仍把无限远作为电势零点。

    由电势求电场强度。根据公式(10-43),得

       .

如果q > 0,那么E沿x轴的正方向。

    例题10-3  试证明当电介质充满整个电场时,电位移矢量D与极化电荷无关,并可表示为D = e0E0,其中E0是电介质不存在时同一点的电场强度。

10-7

      假设表面带有自由电荷的金属块(在图10-7中用深色阴影所表示)浸没在无限大的相对电容率为e r的均匀电介质(在图10-7中用浅色阴影所表示)之中。在金属与电介质的界面附近,作一个钱币状高斯面,底面积为 DS很小,并与界面相平行,上底面处于电介质中,下底面处于金属中,如图10-7所示。在此高斯面上运用高斯定理,得

                   ,                (1)  

                      .                   (2)

式中s 0是金属表面上自由电荷面密度,s ¢是相对的电介质表面的极化电荷面密度。由式(1)

                          ,                       (3)

由式(2)

                              .                            (4)

又有

                            .                         (5)

由式(3)(4)(5)解得

                          .

这表示,电介质表面的极化电荷总是与相对的金属表面的自由电荷的符号相反。若不考虑电荷的符号,只计大小,上式可以写为

                            .                      (6)

    因为电介质是充满整个电场的,其外边缘必定在无限远处,所以可以认为在金属导体附近的电介质中任意一点的电场,是由金属导体和电介质界面上的电荷所产生。于是,由极化电荷产生的电场强度和由自由电荷产生的电场强度的大小之比,可以表示为

                          .

由上式可得

                            ,

                              .

将式(5)代入上式,即得

                              .

可见,电位移矢量D只决定于金属表面上自由电荷在真空中产生的电场强度E0,与电介质及其表面上极化电荷无关。

       
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