[习题解答]

    10-3  两个相同的小球质量都是m,并带有等量同号电荷q,各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用,使小球处于图10-8所示的位置。如果q角很小,试证明两个小球的间距x可近似地表示为

10-8       

              .

      小球在三个力的共同作用下达到平衡,这三个力分别是重力mg、绳子的张力T和库仑力f。于是可以列出下面的方程式

             ,             (1)

             ,              (2)

              .              (3)

因为q角很小,所以

                                 ,

                               .

利用这个近似关系可以得到

                         ,                     (4)

                                 .                             (5)

将式(5)代入式(4),得

                              ,

由上式可以解得

                             .

证毕。

    10-4  在上题中, 如果l = 120 cmm = 0.010 kgx = 5.0 cm,问每个小球所带的电量q为多大?

      在上题的结果中,将q解出,再将已知数据代入,可得

                       .

    10-5  氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型,在正常状态下,电子绕核作圆周运动,轨道半径是r0 = 5.29´10-11  m。质子的质量M = 1.67´10-27  kg,电子的质量m = 9.11´10-31  kg,它们的电量为 ± e =1.60´10-19  C

    (1)  求电子所受的库仑力;

    (2)  电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍?

    (3)  求电子绕核运动的速率。

     

    (1)  电子与质子之间的库仑力为

            .

    (2)  电子与质子之间的万有引力为

      .

所以

                       .

    (3)  质子对电子的库仑引力提供了电子作圆周运动的向心力,所以

                                ,

从上式解出电子绕核运动的速率,为

           .

10-9

    10-6  边长为a的立方体,每一个顶角上放一个电荷q

    (1)  证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为

                .

    (2)  F的方向如何?

      立方体每个顶角上放一个电荷q,由于对称性,每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷,例如B角上的qB,它所受到的力大小也是相等的,即

               .

首先让大家来计算的大小。

    由图10-9可见,的作用力不产生x方向的分量。

    的作用力f1的大小为

                              ,

f1的方向与x轴的夹角为45°

    的作用力f2的大小为

                              ,

f2的方向与x轴的夹角为0°

    的作用力f3的大小为

                              ,

f3的方向与x轴的夹角为45°

    的作用力f4的大小为

                              ,

f4的方向与x轴的夹角为a

    于是

          .

所受合力的大小为

            .

    (2)  F的方向:Fx轴、y轴和z轴的夹角分别为abg,并且

                      ,

                           .

    10-7  计算一个直径为1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。

      根据铜的密度可以算得铜球的质量,为

                          .

铜球的摩尔数为

                               .

该铜球所包含的原子个数为

                            .

每个铜原子中包含了29个质子,而每个质子的电量为1.602´10-19 C,所以铜球所带的正电荷为

              .

    10-8  一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度E,大家就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点,测定F/q0 。问F/q0 是小于、等于还是大于该点的电场强度E

      这样测得的F / q0是小于该点的电场强度E的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动, q0受力F减小了。

    10-9  根据点电荷的电场强度公式

                               ,

当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时,则电场强度趋于无限大,这显然是没有意义的。对此应作何说明?

      r®0时,带电体q不能再视为点电荷,只适用于场源为点电荷的电场强度公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。

    10-10  离点电荷50 cm处的电场强度的大小为2.0 N×C-1 。求此点电荷的电量。

      由于

                               ,

所以有

           .

    10-11  有两个点电荷,电量分别为5.0´10-C2.8´10-C,相距15 cm。求:

    (1)  一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度;

    (2)  作用在每个电荷上的力。

      已知= 5.0´10-C= 2.8´10-C,它们相距r = 15 cm,如图10-10所示。

    (1)  在点B产生的电场强度的大小为

    ,

10-10

方向沿从AB的延长线方向。

    在点A产生的电场强度的大小为

                       ,

方向沿从BA的延长线方向。

    (2)  的作用力的大小为

                         ,

方向沿从BA的延长线方向。

    的作用力的大小为

                          .

方向沿从AB的延长线方向。

    10-12  求由相距l ± q电荷所组成的电偶极子,在下面的两个特殊空间内产生的电场强度:

    (1)  轴的延长线上距轴心为r处,并且r >>l

    (2)  轴的中垂面上距轴心为r处,并且r >>l

10-11

     

    (1)  在轴的延长线上任取一点P,如图10-11所示,该点距轴心的距离为rP点的电场强度为

                  .

r >> l的条件下,上式可以简化为

                               .                         (1)

                                 ,                                                                             (2)

这就是电偶极子的电矩。这样,点P的电场强度可以表示为

10-12 

                .              (3)

    (2)  在轴的中垂面上任取一点Q,如图10-12所示,该点距轴心的距离为rQ点的电场强度为

 

   .        

也引入电偶极子电矩,将点Q的电场强度的大小和方向同时表示出来:

             .

    10-13  有一均匀带电的细棒,长度为L,所带总电量为q。求:

    (1)  细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度,并且a >>L

    (2)  细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度,并且a >>L

   

10-13

    (1)  以棒中心为坐标原点,建立如图10-13所示的坐标系。在x轴上到O点距离为a处取一点P,在x处取棒元dx,它所带电荷元为ldx ,该棒元到点P的距离为a - x,它在P点产生的电场强度为

             .

10-14

整个带电细棒在P点产生的电场强度为

   ,

沿x轴方向。

    (2)  坐标系如图10-14所示。在细棒中垂线(y)上到O点距离为a处取一点P,由于对称性,整个细棒在P点产生的电场强度只具有y分量Ey 。所以只需计算Ey就够了。

    仍然在x处取棒元dx,它所带电荷元为ldx,它在P点产生电场强度的y分量为

            .

整个带电细棒在P点产生的电场强度为

         ,

沿y轴方向。

10-15

    10-14  一个半径为R的圆环均匀带电,线电荷密度为l。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。

      以环心为坐标原点,建立如图10-15所示的坐标系。在x轴上取一点PP点到盘心的距离为a。在环上取元段dl,元段所带电量为dq = l dl,在P点产生的电场强度的大小为

                               .

由于对称性,整个环在P点产生的电场强度只具有x分量Ex。所以只需计算Ex就够了。所以

         .

    10-15  一个半径为R的圆盘均匀带电,面电荷密度为s。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。

10-16

      取盘心为坐标原点,建立如图10-16所示的坐标系。在x轴上取一点PP点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在P点产生的电场强度,可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环,该圆环在P点产生的电场强度,可以套用上题的结果,即

    ,

的方向沿x轴方向。整个圆盘在P点产生的电场强度,可对上式积分来求得

             .

    10-16  一个半径为R的半球面均匀带电,面电荷密度为s。求球心的电场强度。

      以球心O为坐标原点,建立如图10-17所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环,圆环的半径为r。显然

                ,

圆环所带的电量为

           .

根据题10-14的结果,该圆环在球心产生的电场强度为

  ,

10-17

方向沿x轴的反方向。由图中可见, ,, 将这些关系代入上式,得

            .

所以

                  ,

E的方向沿x轴的反方向。

    10-19  如果把电场中的所有电荷分为两类,一类是处于高斯面S内的电荷,其量用q表示,它们共同在高斯面上产生的电场强度为E ¢,另一类是处于高斯面S外的电荷,它们共同在高斯面上产生的电场强度为E ²,显然高斯面上任一点的电场强度E = E ¢ + E ²。试证明:

    (1) 

    (2) 

      高斯面的电通量可以表示为

           .

显然,上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献,第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。

    高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S的电通量,等于该闭合曲面所包围的电量除以e0,而与S以外的电荷无关。”可见,高斯面S以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为

                              .                          (1)

所以,关系式的成立是高斯定理的直接结果。

    因为

                              ,

于是可以把高斯定理写为

                        .

将式(1)代入上式,即得

                             .                         (2)

10-18

    10-20  一个半径为R的球面均匀带电,面电荷密度为s。求球面内、外任意一点的电场强度。

      由题意可知,电场分布也具有球对称性,可以用高斯定理求解。

    在球内任取一点,到球心的距离为r1,以r1为半径作带电球面的同心球面S1,如图10-18所示,并在该球面上运用高斯定理,得

               ,

由此解得球面内部的电场强度为

                  .

    在球外任取一点,到球心的距离为r2,以r2为半径作带电球面的同心球面S2,如图10-19所示,并在该球面上运用高斯定理,得

                          ,

                            .

由此解得

                               ,

E2的方向沿径向向外。

    10-21  一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电,体电荷密度为r。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。

      显然,电场的分布具有轴对称性,圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外,可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面S1(见图10-19)作为高斯面,并运用高斯定理,得

10-19

         .

上式左边的积分实际上包含了三项,即对左底面、右底面和侧面的积分,前两项积分由于电场强度与面元法线相垂直而等于零,只剩下对侧面的积分,故上式可化为

                             ,

于是得

                                ,

方向沿径向向外。

    用同样的方法,在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面S2,如图10-19所示。在S2上运用高斯定理,得

                            .

根据相同的情况,上面的积分可以化为

                              ,

由上式求得

                                ,

方向沿径向向外。

    10-22  两个带有等量异号电荷的平行平板,面电荷密度为 ±s,两板相距d。当d比平板自身线度小得多时,可以认为两平行板之间的电场是匀强电场,并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。

    (1)  求两板之间的电场强度;

    (2)  当一个电子处于负电板面上从静止状态释放,经过1.5´10-8 s的时间撞击在对面的正电板上,若d = 2.0 cm,求电子撞击正电板的速率。

   

    (1)  在题目所说情况下,带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器,并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为DS的柱状高斯面,使下底面处于两板间隙之中,而上底面处于两板间隙之外,并且与板面相平行,如图10-20所示。在此高斯面上运用高斯定理,得

         ,

由此解得两板间隙中的电场强度为

10-20

               .

    (2)  根据题意可以列出电子的运动学方程

                                ,

                                .

两式联立可以解得

                         .

    10-24  一个半径为R的球体均匀带电,电量为q,求空间各点的电势。

      先由高斯定理求出电场强度的分布,再由电势的定义式求电势的分布。

    在球内:,根据高斯定理,可列出下式

                        ,

解得

                            ,

方向沿径向向外。

    在球外:,根据高斯定理,可得

                          ,

解得

                               ,

方向沿径向向外。

    球内任意一点的电势:

             

                        ,     ().

    球外任意一点的电势:

                      ,    ().

    10-25  点电荷+q-3q相距d = 1.0 m,求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。

10-21

   

    (1)  电势为零的点:这点可能处于+q的右侧,也可能处于+q的左侧,先假设在+q的右侧x1处的P1点,如图10-21所表示的那样,可列出下面的方程式:

                         .

从中解得

                                .

    +q左侧x2处的P2点若也符合电势为零的要求,则有

                         .

解得

                                .

    (2)  电场强度为零的点:由于电场强度是矢量,电场强度为零的点只能在 +q的左侧,并设它距离 +qx,于是有

                          .

解得

                        .

    10-26  两个点电荷q1 = +40´10-Cq2 = -70´10-C,相距10 cm。设点A是它们连线的中点,点B的位置离q1 8.0 cm,离q2 6.0 cm。求:

    (1)  A的电势;

    (2)  B的电势;

10-22

    (3)  将电量为25´10-C的点电荷由点B移到点A所需要作的功。

      根据题意,画出图10-22

    (1)  A的电势:

     

    (2)  B的电势:

                      .

    (3)  将电荷q从点B移到点A,电场力所作的功为

                 ,

电场力所作的功为负值,表示外力克服电场力而作功。

10-23

    10-27  一个半径为R的圆盘均匀带电,面电荷密度为s。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势,再由电势求该点的电场强度。

      以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴,建立如图10-23所示的坐标系。在x轴上任取一点P,点P的坐标为x。在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环,该圆环所带电荷在点P所产生的电势可以表示为

                          .

整个圆盘在点P产生的电势为

  .

    由电势求电场强度

                  .

    10-28  一个半径为R的球面均匀带电,球面所带总电量为Q。求空间任意一点的电势,并由电势求电场强度。

       在空间任取一点P,与球心相距r。在球面上取薄圆环,如图10-24中阴影所示,该圆环所带电量为

     .

该圆环在点P产生的电势为

     .     (1)

10-24

式中有两个变量,aq,它们之间有下面的关系:

                         ,

微分得

                            .                         (2)   

将上式代入式(1),得

                              .

    如果点P处于球外,,点P的电势为

                    .                (3)

其中

                                Q = 4p R 2s .

    如果点P处于球内,,点P的电势为

                   .                 (4)

    由电势求电场强度:

    在球外,

                           ,

方向沿径向向外。

    在球内,

                               .

    10-30  如图10-25所示,金属球A和金属球壳B同心放置,它们原先都不带电。设球A的半径为R0 ,球壳B的内、外半径分别为R1 R2 。求在下列情况下AB的电势差:

10-25

    (1)  使B+q

    (2)  使A+q

    (3)  使A+q,使B-q

    (4)  使A-q,将B的外表面接地。

   

    (1)  使B+q:这时AB等电势,所以

                .

    (2)  使A+q:这时B的内表面带上了-q,外表面带上了+qAB之间的空间的电场为

                               ,

方向沿径向由内向外。所以

                  .

    (3)  使A+q,使B-q:这时B的内表面带-q,外表面不再带电,AB之间的空间的电场不变,所以电势差也不变,即与(3)的结果相同。

    (4)  使A-q,将B的外表面接地:这时B的内表面感应了+q,外表面不带电,AB之间的空间的电场为

                              ,

方向沿径向由外向内。所以

.

    10-31  两平行的金属平板ab,相距d = 5.0 mm,两板面积都是S =150 cm2 ,带有等量异号电荷±Q = 2.66´10-8 C,正极板a接地,如图10-26所示。忽略边缘效应,问:

    (1)  b板的电势为多大?

    (2)  ab之间且距a1.0 mm处的电势为多大?

     

10-26

    (1)  可以证明两板之间的电场强度为

                    .

于是可以求得b板的电势,为

                  .

    (2)  根据题意,a板接地,电势为零,两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于ab之间、且到a板的离距为处,所以该点的电势为

                      .

10-27

    10-32  三块相互平行的金属平板abc,面积都是200 cm2 ab相距4.0 mmac相距2.0 mmbc两板都接地,如图10-27所示。若使a板带正电,电量为3.0´10-C,略去边缘效应,求:

    (1)  bc两板上感应电荷的电量;

    (2)  a板的电势。

   

    (1)  a板带电后,电荷将分布在两个板面上,其面电荷密度分别为s1s2。由于静电感应,b板与a板相对的面上面电荷密度为 -s1c板与a 板相对的面上面电荷密度为-s2c板和b板都接地,电势为零。所以

                               ,

                               .                         (1)

式中E1d1ab之间的电场强度和板面间距,E2d2ac之间的电场强度和板面间距。另外

                              .                         (2)

(1)(2)两式联立,可以解得

                  ,

                      .

b板上的电量为

                         ,

c板上的电量为

                          .

    (2)  a板的电势

    .

    10-33  如图10-28所示,空气平板电容器是由两块相距0.5 mm的薄金属片AB所构成。若将此电容器放在一个金属盒K内,金属盒上、下两壁分别与AB都相距0.25 mm,电容器的电容变为原来的几倍?

10-28

      设原先电容器的电容为C0,放入金属盒中后,形成了如图10-29所示的电容器的组合。根据题意,有

10-29

                  .

CACB串联的等效电容为

             .

CABC0并联的等效电容C就是放入金属盒中后的电容:

             .

可见,放入金属盒中后,电容增大到原来的2倍。

    10-34  一块长为l、半径为R的圆柱形电介质,沿轴线方向均匀极化,极化强度为P,求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。

      以圆柱体轴线的中点为坐标原点,建立如图10-30所示的坐标系,x轴沿轴线向右。根据公式

10-30

                 ,

圆柱体的右端面(A端面)的极化电荷密度为+s ¢B端面的极化电荷密度为-s ¢。它们在轴线上任意一点(坐标为x)产生的电势可以套用题10-27的结果。A面上的极化电荷在该点产生的电势为

                                          .

B面上的极化电荷在该点产生的电势为

                     .

该点的电势应为以上两式的叠加,即

           .

    10-35  厚度为2.00 mm的云母片,用作平行板电容器的绝缘介质,其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400 V时,云母片表面的极化电荷密度。

      云母片作为平行板电容器的电介质,厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压,可以求得云母片内的电场强度:

                                 .

云母片表面的极化电荷密度为

      .

    10-36  平行板电容器两极板的面积都是S = 3.0´10-2  m2 ,相距d = 3.0 mm。用电源对电容器充电至电压U0 = 100 V 然后将电源断开。现将一块厚度为b = 1.0 mm、相对电容率为e  r = 2.0的电介质,平行地插入电容器中,求:

    (1)  未插入电介质时电容器的电容C0

    (2)  电容器极板上所带的自由电荷q

    (3)  电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度E1

    (4)  电介质内的电场强度E2

    (5)  两极板之间的电势差U

    (6)  插入电介质后电容器的电容C

     

    (1)  未插入电介质时电容器的电容为

                          .

    (2)  电容器极板上所带的自由电荷为

                           .

    (3)  电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为

                      .

    (4)  电介质内的电场强度为

                     .

    (5)  两极板之间的电势差为

                         .

    (6)  插入电介质后电容器的电容为

                            .

    10-37  半径为R的均匀电介质球,电容率为e,均匀带电,总电量为q。求:

    (1)  电介质球内、外电位移的分布;

    (2)  电介质球内、外电场强度和电势的分布;

    (3)  电介质球内极化强度的分布;

    (4)  球体表面和球体内部极化电荷的电量。

      电介质球体均匀带电,电荷体密度为

                               .

    (1)  电介质球内、外电位移的分布

         球内()

                        ,

                            ,

方向沿径向向外。

         球外()

                           ,

                                ,

方向沿径向向外。

    (2)  电介质球内、外电场强度和电势的分布

    电场强度的分布

         球内()

                       ,

方向沿径向向外。

         球外()

                            ,

方向沿径向向外。

    电势的分布

         球内()

           

              .

         球外()

                         .

    (3)  电介质球内极化强度的分布

         球内()

                ,

方向沿径向向外。

         在球外P = 0

    (4)  球体表面和球体内部极化电荷的电量

    球体表面的极化电荷密度为

                          ,

球体表面的极化电荷的总量为

                          .

    因为整个球体的极化电荷的代数和为零,所以球体内部的极化电荷总量为-q ¢

    10-38  一个半径为R、电容率为e的均匀电介质球的中心放有点电荷q,求:

    (1)  电介质球内、外电位移的分布;

    (2)  电介质球内、外电场强度和电势的分布;

    (3)  球体表面极化电荷的密度。

   

    (1)  电介质球内、外电位移的分布

                               ,

                                ,

方向沿径向向外。

    无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。

    (2)  电场强度的分布

   

                              ,

方向沿径向向外。

   

                             ,

方向沿径向向外。

    电势的分布

   

             .

   

                         .

    (3)  球体表面极化电荷的密度

    紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为

                         .

电介质球表面上的极化电荷总量为

                            ,

所以电介质表面的极化电荷密度为

                          .

    10-39  10-31A是相对电容率为e r的电介质中离边界极近的一点,已知电介质外的真空中的电场强度为E ,其方向与界面法线n的夹角为a ,求:

10-31

    (1)  A点的电场强度;

    (2)  A附近的界面上极化电荷密度。

     

    (1)  求解点A的电场强度E ¢A可以先分别求出点A电场强度的切向分量和法向分量,而这两个分量可以根据边界条件求得。

    根据电场强度的切向分量的连续性可得

                              .

根据电位移矢量的法向分量的连续性可得

                             .

A的电场强度的大小为

                   ,

电场强度E ¢A的方向与表面法向n的夹角a¢ 满足下面的关系:

                           .

    (2)  A附近的界面上极化电荷密度为

                    .

    10-40  一平行板电容器内充有两层电介质,其相对电容率分别为e  r1 = 4.0e  r 2 = 2.0,厚度分别为d1 = 2.0 mmd2 = 3.0 mm,极板面积为S = 5.0´10-m2 ,两板间的电势差为U0 = 200 V

    (1)  求每层电介质中的电场能量密度;

    (2)  求每层电介质中的总电场能;

    (3)  利用电容与电场能的关系,计算电容器中的总能量。

     

    (1)  两板间的电势差可以表示为

                       ,

所以

                       .

于是可以求得电介质中的电场强度:

                        ,

                        .

电介质中的能量密度为

                  ,

                  .

    (2)  第一层电介质中的总电场能为

                           .

第二层电介质中的总电场能为

                           .

    (3)  题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联,这两个电容器的电容分别为

                           .

它们串联的等效电容为

                  .

电容器中的总能量为

                         .

    也可以利用上面的结果来计算:

                .

两种计算方法所得结果一致。

       
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