§11-3  毕奥-萨伐尔定律

    磁场是由电流产生的。为了求得任意形状的载流导线所产生的磁场,大家可以将载流导线分割成许多电流元Idl,如果知道了每一个电流元Idl产生的磁场,将它们叠加起来就得到任意形状的载流导线所产生的整个磁场。所谓电流元Idl,就是电流I与导线元d l的乘积,因为导线的形状是任意的,被分割出来的导线元在空间可能有各种取向,所以电流元是矢量。

    电流元Idl在空间任意一点P产生的磁感应强度dB遵从毕奥-萨伐尔定律。这个定律可表述为,电流元Idl在空间某点P产生的磁感应强度dB的大小与电流元Idl的大小成正比,与电流元和由电流元到点P的矢量r之间的夹角的正弦成正比,与电流元到点P的距离的平方成反比;dB的方向垂直于Idlr所组成的平面,其指向满足右手定则。数学上可表示为

                          ,

式中k是比例系数,与式中各量的选取有关,在国际单位制中可表示为

                             ,

其中m 0 = 410-7  T×m×A-1 ,称为真空磁导率。于是,毕奥(J.B.Biot, 1774-1862) - 萨伐尔(F.Savart,1791-1841)定律可以表示为

                         .                 (11-28)

图 11-6

图11-6表示了任意形状的载流导线L上的某电流元Idl、由Idl到点P的矢量r和磁感应强度dB三者的方向关系。dB垂直于过Idlr所作的平面h,指向可由右手定则确定,q 则是Idlr之间的夹角。根据式(11-28),点P的磁感应强度的大小为

                        .                (11-29)

整个载流导线L在点P产生的磁感应强度,等于各电流元在点P产生的磁感应强度的矢量和,即

                        ,               (11-30)

要求解上式,必须先将其微分式化为分量式,然后分别积分。

         毕奥- 萨伐尔定律是在大量实验基础上总结出来的,虽然它不能直接用实验方法加以证明,但是它的正确性可以从由它所得出的结果与实验相符合而得到确认。

图 11-7

   例题 11-1  在一直导线MN中通以电流I,现求距离此导线为a的点P处的磁感应强度。已知从导线两端MN到点P的连线与直导线之间的夹角分别为a1a2

    解  根据已知条件画出图11-7。点P到直导线的垂足为OOP = a,在距点Ol处取电流元Idl,点P相对于电流元Idl的位置矢量为r,根据式(11-28),电流元Idl在点P产生的磁感应强度的大小为

            ,       (1)

dB的方向垂直于纸面向里。在直导线MN上的所有电流元在点P产生的磁感应强度都具有相同的方向,所以,总磁感应强度B的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即

                          .                    (2)

由图11-7可见,l = a cot (p-a)= -a cota,r = a csca ,可求得dl= a csc2a da 。将r和dl的表达式代入式(2),并积分得

                ,              (3)

B的方向垂直于纸面向里。

    对于无限长载流直导线,a1 = 0,a2 = p,距离导线a处的磁感应强度为

                               .

       
XML 地图 | Sitemap 地图