二、安培环路定理

为简便起见,大家分析由无限长直电流产生的磁场的情形。显然,在这种情况下,在所有与电流垂直的平面内磁场的性质都是相同的,大家可以讨论其中任意一个这样的平面内磁场的性质。图11-11所表示的画面是一

个垂直于直电流的平面,电流I与该平面相交于点O,电流的方向由里向外指向读者。在此平面内任取一闭合环路L,沿L计算磁感应强度B的环路积分。

    首先讨论闭合环路L包围电流的情形,即图11-11(a)所示的情形。在环路的任意一点G附近沿环路取位移元dl,该处的磁感应强度为

                            ,                      

式中r是点G到直电流的距离,即图中OG。磁感应强度B的方向垂直于OG,并与位移元dlq角。由图中的几何关系可得

                B×dl = Bdl cosq  = B ds = B r df ,

            (a)                      (b)

图 11-11

式中df是位移元dl对点O的张角。因此,磁感应强度B沿任意闭合环路L的积分为

               .       (11-34)

    再看一下闭合路径L不包围电流的情形,即图11-11(b)所示的情形。由图可知,对于任何不包围电流的闭合环路,大家总可以过点O作闭合环路L的两条切线OEOC,设两条切线之间的夹角为f 。于是,大家可以将B沿L的环路积分写为两项之和,即

                      

                 = .                       (11-35)

    对于以上两种情形,大家分别得出了式(11-34)和式(11-35)。显然在闭合环路不包围电流时,式(11-34)就是式(11-35)。大家规定,当绕行方向(也就是积分方向)与电流的方向满足右螺旋关系时,此电流为正值,反之为负值。如果闭合环路包围了多个电流,则可按照此规定求出包围在闭合环路内的电流代数和。这样,大家就可以将上面的讨论结果推广到一般情形,并写为下面的关系

                        .                (11-36)

上式表示,在恒定电流磁场中,磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此闭合环路所包围的电流代数和的m 0倍。这个结论就是安培环路定理。这个定理虽然是从无限长直电流这一特殊情况导出的,理论和实验都证明,对于一般情形的恒定电流磁场和任意闭合路径,这个关系都是正确的。

    根据矢量分析,下面的关系成立

                     ,

而闭合路径L所包围的电流可以表示为电流密度j沿L所包围的曲面的积分,即

                         ,

将以上两个关系代入式(11-36),于是安培环路定理可以表示为

                           Ñ´B = m 0 j ,                  (11-37)

这就是安培环路定理的微分形式。

    安培环路定理的存在说明了磁场不是保守场,因而不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分重要的性质。

    安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题,就像可以用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。

       
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