[概念阐释]

    一、恒定电流条件和导电规律(§11-1)

    1. 电流强度和电流密度

    (1)  电流的形成和电流强度:电荷的定向运动就形成电流;电流强度是描述电流强弱的物理量,它定义为单位时间内通过导体任一横截面的电量,即

                             .

    关于电流的形成和电流强度的概念,这里指出以下几点:

    a)  要使电荷定向运动以形成电流,必须有两个条件,一是存在可以自由移动的电荷(即自由电荷),二是存在电场的作用。

    超导现象中电流的形成并不需要上述条件,关于超导现象将在教材(下卷)§12-5中讨论。

    b)  正电荷定向运动引起的电流与等量负电荷沿反方向运动引起的电流是等效的(霍耳效应除外),习惯上规定正电荷运动的方向为电流的方向,并把负电荷的运动也等效为正电荷的运动。

    c)  电流强度是标量,不过有正、负之分,因此是代数量。所谓电流强度的正、负,是指电流的流向有正、反两个方问。电流的方向性与矢量的方向性是有根本区别的。电流的方向是对一个曲面而言的,只有两种可能的方向,即意味着电荷要么从曲面的这一侧流向那一侧,要么从那一侧流向这一侧;而一个矢量在空间却有无限多个可能的方向。

    d)  那么什么情况下电流为正,什么情况下电流为负呢?对于电路中任何一个电流通道,大家都可以人为地约定一个方向,这个方向称为电流的标定方向,当电流的实际方向与标定方向相同时,此通道上的电流为正值;当电流的实际方向与标定方向相反时,此通道的电流为负值。

     这种情况可以推广到物理学中的多种代数量。代数量的正和负本来是一个数学概念,而物理上,在有些情况下,只有在选取了标定方向之后才有意义。

    (2)  电流密度矢量是描述导体中各点的电流方向和强弱的物理量,是矢量。在某点电流密度的方向是该点正电荷运动的方向,或者是该点电场的方向,电流密度的大小等于过该点并垂直于电流的单位面积上的电流强度。它与电流强度的关系为

                             ,

                            .

式中S为导体中的某曲面,I为通过该曲面的电流强度。

    a)  将上式与电通量的定义式相比较,可以得到这样的结论:电流密度矢量与电流强度的关系就是电流密度矢量场与它的通量的关系。在有电流流过的导体空间内,每一点都对应一个一定大小和方向的电流密度矢量,这些矢量的总体,就称为电流密度矢量场,简称电流场。 

    b)  大家知道,dI是有正、负之分的,在这里dI的正、负是由jdS之间的夹角来确定的。其中j的方向由该点电场的方向决定,dS的方向由该面元的法向单位矢量n来表示。而n的方向有两种取法,即可以指向曲面的一侧,也可以指向曲面相反的一侧,到底规定n指向哪一侧,则是人为约定的。上面所说的电流标定方向,在这里就是约定n的方向。

    2. 电流的连续性方程和恒定电流条件

    (1)  电流连续性方程可写为

                           .

对于这个方程应注意下面两点:

    a)  电流连续性方程是电荷守恒定律在电流问题中的表现;

    b)  引入电流线,将电流连续性方程与高斯定理相比较,可以得到,电流线发自正电荷随时间减少的地方,而终止于正电荷随时间增加的地方。

    (2)  由电流连续性方程可以得到恒定电流条件,为

                            .

从恒定电流条件可以得到:

    a)  对于恒定电流场中的任意闭合曲面而言,流出的电流代数和或流进的电流代数和一定等于零;

    b)  恒定电流场中的电流线必定是头尾相接的闭合曲线。

    3. 导体的电阻

    导体的电阻是描述导体导电特性的物理量,它与材料的性质、大小、形状以及所处温度有关,对于这个物理量,应注意以下问题。

    (1)  电阻是这样定义的:施加于导体两端的电势差与所通过的电流之比,即

                               .

这个量描述了一段确定的导体样品整体的导电性质。

    应该强调的是,这个定义式适用于一切导电的物体和元、器件。必须注意电阻的定义式与下面将要讨论的欧姆定律的根本差异。

    (2)  电阻是标量,只有正值,因而是算术量。

    (3)  导体的电阻有线性电阻和非线性电阻之分,在非线性电阻中又有各种不同的情况。线性电阻的特点是,其伏安特性曲线为直线,并且通过坐标原点。只有对于具有线性电阻特性的导体,才可以认为其电阻定义式与欧姆定律是相通的。

    4. 导体的电阻率

    (1)  电阻率由材料的性质决定,并与温度有关。导体材料中某点的电阻率r定义为,该点的电场强度E的大小与同点的电流密度j的大小之比,即

                             .                          (1)

这个量描述了导体材料中任意一点上的导电性质。        

    (2)  材料的电阻率也可以用通常的方法来定义:对于由一定材料制成的横截面均匀的导体,电阻R与其长度成正比,与其横截面积成反比,即

                             ,                          (2)

其中比例系数r就是材料的电阻率。

    电阻率的这两个定义式,即式(1)和式(2)是一致的。在电流场中取一个细电流管,其长度和横截面积分别为DlDS,电阻为R,该处的电场强度和电流密度分别为Ej,并假设细电流管通过的电流为DI,两端的电压为DU。将式(1)的分子、分母同乘以该细电流管的体积,得

                           ,                         (3)

因为

                       

于是,式(3)可化为

                         ,

                             .

这就是式(2)

    (3)  在一定温度以下有些材料的电阻率会低得测不出来,这种现象称为超导现象。关于超导现象,将在§12-5中讨论。

    5. 欧姆定律

    通过一段金属导体的电流I与施加在该导体两端的电势差U成正比,即

                         .

这就是欧姆定律。欧姆定律也可以表述为,对于一段给定的金属导体,电阻R是与所施加的电势差U和通过的电流I无关的常量。

    欧姆定律反映了金属导体导电的基本规律。上式也称为欧姆定律的积分形式,式中比例系数的倒数R是该段导体的电阻。关于欧姆定律应该注意下面几点。

    (1)  欧姆定律反映了金属导体具有线性电阻的导电特性。电阻R既然是比例系数的倒数,必定是与UI无关的常量,其伏安特性曲线必定是通过原点的直线。所以说,欧姆定律对于具有线性电阻特性的导体都是适用的。实验表明,除了金属导体以外,电解液(即酸、碱、盐的水溶液)和熔融的盐类也具有线性电阻性质。

    (2)  欧姆定律的微分形式可以表示为

                            .

它表示了电流场中任意一点的电流密度与电场强度的关系,式中s = 1/r是导体材料的电导率。

    (3)  不要把欧姆定律的积分形式与电阻的定义式相混淆;不要把欧姆定律的微分形式与电阻率的定义式相混淆。

    6. 电功率和焦耳定律

    关于电功和电功率这两个概念大家想说明以下几点。

    (1)  电功就是电场力所作的功,由该段电路两端的电压U、通过的电流I和通电时间t三者的乘积来表示,即

                              ,

或表示为电功率

                            .

当电流通过一段电路时,由于电流是从高电势流向低电势的,所以,电荷的电势能是下降的,下降的这部分电势能转变为其他形式的能量,由该段电路所释放,数值上等于电场力所作的功。

    (2)  对于电流的热效应,即当电流通过纯电阻时,电势能全部转变为热能,并释放出来,这时应有

                              ,

或表示为热功率

                              .                 

这就是焦耳定律。应该注意的是,有时电功A并没有全部转变为热能Q,还有一部分转变为其他形式的能量,如机械能,在这种情况下,A ¹ QQ仅是电功中的一部分。转变为机械能的部分应等于A - Q

    7. 电动势

    (1)  电源的电动势,是表征电源将其他形式能量转变为电能的本领的物理量。对于这个概念应注意以下几点。

    a)  电源的电动势定义为,单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功,即

                            .                        (1)

这个定义式具有广泛的意义,既适用于一般直流电路,也适用于电磁感应现象中的闭合回路。对于一般直流电路,由于非静电力只集中于电源内部,所以电源的电动势也可以简化为

                           .                        (2)

积分是从电源的负极经电源内部到电源的正极。

    b)  如果电路中存在若干个电源,整个回路的总电动势也必须用公式(1)来求得。例如,对于图11-1所示的电路,大家一定可以得到

  

                         .

11-1

这表明,在回路中存在多个电源的情况下,整个电路的总电动势必定等于各电源电动势的代数和。

    c)  习惯上规定电动势的方向是从负极经电源内部到正极的方向。但要注意,电动势的方向性与矢量的方向性有根本的差别。电源在电路中只有两种可能的放置方法,要么使电动势的方向沿电路的一个方向,要么沿相反的方向。

    d)  电动势是标量,有正、负之分,因而是代数量。大家已经多次说过,代数量的正、负,只有在选定了标定方向之后才有意义。所以在计算电路时,必须约定电动势的正方向,即标定方向。如果e > 0,表示该电源电动势的方向与标定方向相同;如果e < 0,表示该电源电动势的方向与标定方向相反。例如,在上面图11-1所示的电路中,大家实际上选定了电动势的标定方向是沿顺时针方向的,如图中环形箭头所示。当然也可以选择沿逆时针方向为标定方向,这时总电动势应为

    (2)  电源接入电路中,随着电流的通过,电路将发生能量的转换过程。对于电动势为e的电源,处于充电和放电地位,可以分别得到

                            .

式中r为电源的内阻,U是电源两端的电压,加号对应于电源放电,减号对应于电源被充电。

    (3)  有的书上把上式称为“一段含源电路的欧姆定律”。从这个公式可以看到,电源的端电压U一般并不等于电源的电动势。只有在两种情况下它们才相等,即或电流I = 0,或电源的内阻r = 0

    (4)  若用电流I乘以上式等号两端,就得到闭合电路中的能量关系,即

                            .

必须弄清这个关系式的物理意义。当电源处于放电地位(上式)时,电流的方向与电源电动势的方向相同,也就是与电源内的非静电性电场的方向相同,电源的非静电力作功,它所提供的总功率e I中的一部分为电路向外界输出电功率UI,另一部分提供了电源内阻消耗的热功率I 2r;当电源处于充电地位(上式取)时,电流的方向与电源电动势的方向相反,也就是与电源内的非静电性电场的方向相反,外界向电路提供的总功率UI中的一部分用于克服电源的非静电力而作功,其功率为e I ,使电源储存的电能增加,另一部分是电源内阻消耗的热功率I 2r

    (5)  如果电动势为e 、内阻为r的电源通过电阻R放电,这时容易解得电路上的电流为

                             .

这个关系很容易推广到n个电源和m个电阻组成的串联电路中,可得

                          .

式中ri是电动势为e i的电源的内阻。有的书上把这个公式称为“一段含源电路的欧姆定律”,或“全电路的欧姆定律”。在使用上式时应该注意,计算分子部分电动势的代数和时,需取标定方向,与标定方向取向相同的电动势应为加号,否则为减号。

    (6)  电路中接入了电源之后,就为形成恒定电流场提供了可能性。如果恒定电流场是处于具有线性电阻特性的导体中,欧姆定律成立,并可写为

                              .

这时,式中的E是什么?具体地问:在外电路E是什么?在内电路E又是什么?

    在外电路,E是与电源的端电压相应的电场强度,可称为库仑场的电场强度EC,即

                              E = EC ;

    在内电路,E是库仑场电场强度EC与电源的非静电性电场的电场强度K的矢量和,即

                            E = EC + K .

实际上,在内电路(即电源内部)ECK的方向是相反,电路中的电流j的方向与K的方向一致。

       
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