四、磁场的高斯定理和安培环路定理(§11-4)

    1. 磁场的高斯定理

    对于任何闭合曲面S,磁通量恒等于零,即

                            .

这一规律称为磁场的高斯定理。

    实际上,磁场的高斯定理清楚地表示了,磁感应线是既没有始点、也没有终点的连续的闭合曲线。这是恒定磁场与静电场的重要区别之一。由磁场的高斯定理可以得到以下结论:

11-2

    (1)  对于任何以同一条闭合曲线为边界的一切曲面,磁通量都相等。图11-2表示,曲面S1S2都是以闭合曲线L为边界的曲面,它们共同构成了一个闭合曲面S,通过这个闭合曲面S的磁通量恒等于零,即

            ,

改写为

         ,

                       .

其中负号来自曲面法向单位矢量n的选取。对于闭合曲面,总选取外法线为n的正方向,所以对于S1,法线n指向右,而对于S2,法线n指向左。如果法线n都指向同一侧,式中负号将消失。

    (2)  由一端进入一段磁感应管的磁通量在数值上必定等于由另一端穿出的磁通量。这是因为磁感应线不可能在磁感应管的管壁上穿进和穿出。所以,当磁感应管的截面不均匀时,可以断定:磁感应管膨胀的地方,磁场较弱;磁感应管收缩的地方,磁场较强。

    (3)  当沿某一直线的磁感应强度的数值不变时,则该直线附近的磁感应管的截面必定均匀,并且在此直线附近的磁感应线必定平行于该直线。

    2. 安培环路定理

    安培环路定理与磁场的高斯定理一样,也是反映恒定电流磁场性质的规律之一。这个定理表示,在磁场中,磁感应强度沿任意闭合路径(称为安培环路)的环路积分,等于该闭合路径所包围的电流代数和的m 0倍,即

                          .

在理解这个定理时,应注意以下几个问题。

    (1)  定理中的B是安培环路L上任意一点的磁感应强度,它是由空间所有电流共同产生的。定理中的 åIi则是安培环路L所包围的电流的代数和。可见,当安培环路不包围电流时,环路上磁感应强度B并不一定处处为零。反之,如果安培环路上磁感应强度处处为零,则安培环路一定不包围电流。

    (2)  上面大家说定理中的B是空间所有电流共同在安培环路上产生的磁感应强度,这是定理的本义,现在让大家来进一步分析这个问题。

    a)  假如空间有n个电流,安培环路L包围了其中的k个,其余n-k个电流处于安培环路L之外。根据安培环路定理,安培环路L上任意一点的磁感应强度B是由这n个电流共同产生的,并应表示为

                        .                         (1)

现在假设包围在L之内的k个电流在L上任一点产生的磁感应强度为B ¢L之外的n-k个电流在L上同一点产生的磁感应强度为B ²。根据磁场的叠加原理,应有

                             B = B¢ + B ².

将这个关系代入式(1)中,得

                      .                   (2)

根据安培环路定理,上式等号左端第二项是等于零的,即

                            .                         (3)

将式(3)代入式(2),可得

                           .                       (4)

因为式(3)对于处于安培环路L以外的电流总是成立的,所以式(4)也总是正确的。这样,由式(1)和式(4)大家可以得到下面的结论:由空间所有电流共同在安培环路L上产生的磁感应强度与由包围在L内部电流在L上产生的磁感应强度,分别满足式(1)和式(4),它们是完全相同的数学表达式。这种情形与在讨论静电场的高斯定理时所遇到的情形十分相似。

    b)  有的读者可能会从式(1)和式(4)的比较中得到的结论,这同样是一个非常有意思的问题。

    应该看到,BB ¢都是矢量,都包含了三个未知量。要确定BB ¢各需要三个联立方程式,而式(1)只是确定B所必须的三个联立方程式中的一个,式(4)只是确定B ¢所必须的另外三个联立方程式中的一个。大家绝对不能由于这两组联立方程式中有一个式子相同,就得出这两个未知量相等的结论。

    c)  既然在确定BB ¢ 所需要的两组联立方程式中有一个式子是相同的,这就预示着BB ¢有相等的可能性。

    那么在什么情况下,BB ¢会相等呢?显然,当安培环路L外无电流时,它们必定相等,这种情况是没有必要讨论的。大家所要讨论的是安培环路L内、外同时都分布着电流的情况。

    从数学上来看,如果BB ¢中各自包含的三个未知量退化为一个,那么求解BB ¢都只需要一个方程式就够了,即由方程式(1)可以完全确定B,由方程式(4)可以完全确定B'。这时大家才可以说

                              .

11-3

    那么三个未知量退化为一个的情况什么时候才会出现呢?显然这是电流分布具有一定对称性的情况。例如,电流沿无限长圆柱状直导线流动的情况,适当选取坐标轴的取向,无论B还是B' 都只包含一个未知量,用安培环路定理就可以求解。

    (3)  安培环路定理对于一段不闭合的恒定电流所激发的部分磁场的磁感应强度是不成立的。举例来说,边长为2a的正方形闭合回路CDEFC,所通电流为I。现仅讨论CD段,取中心处于其中点且与其垂直的半径为r的圆为安培环路,如图11-3所示。CD段所激发的磁场在圆上各点的磁感应强度为

                        .

BCD的方向与圆周相切,与电流的方向成右螺旋关系。沿此圆周的环路积分为

                      .

    (4)  在计算安培环路所包围电流的代数和时,如果电流的流向与沿安培环路的积分方向满足右螺旋关系,那么此电流为正,否则就为负。

    (5)  如果取任意一条磁感应线作为安培环路,并沿B的方向计算积分òB×dl,由于总有B×dl > 0,所以必定有

                             ,

根据安培环路定理,该安培环路一定包围电流。由此可得结论:磁感应线总是与产生它的电流回路套连在一起的。

    (6)  矢量B的环路积分不恒等于零,说明磁场不是保守力场,所以在磁场中不能引入势能(标量势)的概念。

    只有把上述问题都清楚地理解了,才能说掌握了安培环路定理。熟练运用则要靠多练习来解决。

       
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