六、带电粒子在磁场中的运动(§11-6)

    1. 洛伦兹力和粒子的运动方程

    (1)  洛伦兹力的方向总是垂直于粒子运动的速度v和磁感应强度B,即垂直于由vB所决定的平面。对于带正电荷的粒子和对于带负电荷的粒子,所受洛伦兹力的方向正好相反。带正电荷的粒子所受洛伦兹力的方向,可以直接根据前面所说的右手定则来确定;而对于带负电荷的粒子,可将按右手定则所确定的方向逆转180°,就是粒子实际所受洛伦兹力的方向。

    (2)  由于洛伦兹力始终与带电粒子的运动方向相垂直,所以洛伦兹力对带电粒子的运动是不作功的,但洛伦兹力的分力可能对带电粒子的运动作功,前面曾对此作过讨论。

    (3)  当带电粒子在既有电场又有磁场的空间中运动时,它所受到的力可以表示为

                         .

此式称为洛伦兹公式,是电磁学中的基本公式之一。粒子的运动方程可以表示为

                       .

此方程在洛伦兹变换下形式不变,无论粒子以多大的速度运动,也无论场是变化的还是恒定的,此方程都成立。

    2. 带电粒子在匀强磁场中的运动

    (1)  v ^ B的情形:这时粒子在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力。重要结论是,粒子的回旋频率f与其运动速度v和轨道半径R无关,即

                           .

这一结论的应用例证是回旋加速器。

    (2)  vB间有任意夹角a 的情形:这时粒子将沿磁场的方向作螺旋线运动。重要结论是,螺距hv^无关,即

                         .

所以,无论粒子在多大的螺旋线上运动,只要v//相同,螺距都必定相等。这一结论的应用例证是电子显微镜的磁透镜。

    3. 带电粒子比荷的测定

    (1)  电子比荷的测定:磁聚焦法。

    (2)  离子比荷的测定:质谱仪。

    4. 霍耳效应

    (1)  霍耳效应是在1879年霍耳首先发现的。若使导电板平面沿xy平面放置,沿x方向通以电流,在z方向施加磁场,则在y方向上将出现由下式所表示的霍耳电势差

                          ,

其中霍耳系数为

                             .

只要保持磁场和电流的方向不变,载流子(无论带正电还是带负电)总是向导电板的-y方向一侧聚集。则根据霍耳电势差的大小和正负,可以确定霍耳系数的大小和正负,从而可以判断载流子的浓度和电荷的性质,确定导电板的导电机制。

    霍耳效应在近代科学、技术中有广泛应用。

    (2)  为讨论量子霍耳效应,需引入一个物理量,称为霍耳电阻率,定义为霍耳电场与电流密度之比,即

                            ,

将载流子的电量写为e,则上式变为

                               .

可见,霍耳电阻率不是常量,而是与外加磁场的磁感应强度的大小B成正比、与载流子的浓度n成反比。

    霍耳电阻率rH不同于普通电阻率rx,霍耳电阻率是沿霍耳电场方向的,即y方向的,而普通电阻率是沿电流方向的,即x方向的。

    (3)  整数量子霍耳效应和分数量子霍耳效应,可以说是20世纪80年代物理学上的两个意外发现,这两种效应的发现预示着凝聚态物理学理论将要发生重大突破。

    在极低温度(1.5 K)和很强磁场(18T)下,二维电子系统( xy)的霍耳电阻RH与载流子浓度n或与外加磁场B的关系中出现了一系列平台,平台的霍耳电导值是以e2 / h为基本单位的。同时,在平台范围内普通电阻降为零。这种现象就是量子霍耳效应。关于量子霍耳效应,还需注意下面几点。

    a)  出现量子霍耳效应的条件是:极低温度、很强磁场和二维电子系统。冯克利清发现整数量子霍耳效应的温度是1.5 K、磁场是18 T,崔琦发现分数量子霍耳效应的温度是0.5 K、磁场是20 T。至于二维电子系统,可以是教材中所说的反型层,也可以是两种不同类型的半导体晶体的界面层,这种界面层称为异质结。

    b)  在二维系统中,霍耳电阻率rH与霍耳电阻RH是相等的:

                   .

式中l是二维系统的宽度[相当教材(上卷)中图11-21的导电板的宽度]

11-5

    c)  霍耳电阻RH与载流子浓度n的关系中出现平台,霍耳电阻RH与磁感应强度B的关系中也出现平台,这两种现象的实质是一样的,都是量子霍耳效应表现。大家在教材中讨论的是霍耳电阻RH与载流子浓度n的关系。图11-5表示了霍耳电阻RH与磁感应强度B的关系曲线。

    d)  量子霍耳效应的应用目前还只限于建立物理量的自然基准或测量标准方面。一个是电阻的自然基准,将电阻与基本常量eh相联系:

      .

同时,用这种方法将精细结构常量

                       

的测量提高了一个数量级。在这样的精度下,不仅可以印证量子电动力学的内部自洽性,而且对弱相互作用和强相互作用的现代理论也是有助的。

    5. 电子感应加速器

    (1)  电子感应加速器也称 b 加速器,其原理是:带电粒子在磁场中可以作圆周运动,洛伦兹力提供了向心力;变化磁场的周围空间所产生的涡旋电场可以用来对带电粒子加速。具体说来,有两个问题必须解决:

    a)  前面说带电粒子在匀强磁场中运动,速度与轨道半径成正比,随着运动速度的增大,轨道半径也越来越大。但是,在电子感应加速器中,由于环状真空室的径向线度极其有限,必须将电子限制在一个固定的圆形轨道上并不断被加速。教材中的公式(11-53)

                             mv = eRBR

告诉大家,这是可以做到的,但必须对磁场的具体形式加以限制。为满足这种限制,电磁铁极头必须做成教材(上卷)中图11-24所示的特殊形状。

    b)  当电磁铁用低频的强大交变电流励磁时,真空室中任意一点的磁感应强度随时间的变化,都是简谐式的。电子枪总是在磁感应强度为零的瞬间将电子射入真空室,这时磁场的变化应满足两个条件,一是磁场的方向必须为电子沿环形真空室作圆周运动提供向心力,二是变化磁场所产生的涡旋电场的方向必须使电子沿电子枪的射出方向被加速。满足这些条件,在磁场随时间变化的一个周期中,只能利用四分之一的时间加速电子,这段能加速电子的时间在图11-6中用灰色表示。

11-6

    (2)  一个典型的电子感应加速器的有关数据,列出来以供参考:电磁铁的重量为130 t,电子运行的轨道半径为0.84 m,电子每运行一周所获得的能量为430 eV,在4.2´10-3 s的时间内共运行了2.3´105 周,总行程为1207 km,能量达到100 MeV

 

 

 

       
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