[例题分析]

    例题11-1  有两段导线,分别测出它们的电压与电流的关系,如下表中所列:

两端的电压(V)

3.00

5.00

7.00

导线甲中的电流(A)

0.48

1.40

1.96

导线乙中的电流(A)

1.45´10-2

3.13´10-2

5.19´10-2

    (1) 求这两段导线在上述各电压下的电阻值;

    (2) 问这两段导线是否遵从欧姆定律?

      求电阻应该根据电阻的定义式

                             .

应该注意的是,上式并不是欧姆定律。导体的导电特性是否遵从欧姆定律,要看其伏安特性曲线是否为通过坐标原点的直线,也就是其电阻是否与电压和电流无关。

    (1)  根据电阻的定义式,分别求得导线甲在不同电压下的电阻为

    电压为3.00V时,;

    电压为5.00V时,;

    电压为7.00V时,.

可见,导线甲在不同的电压和电流下,电阻值恒定不变。

    同样可以求得导线乙在不同电压下的电阻为

    电压为3.00V时,;

    电压为5.00V时,;

    电压为7.00V时,.

可见,导线乙的电阻不是常量,随着电压的升高,电阻值下降。

    (2)  根据两导线在不同电压下的电阻值,可以明显看到导线甲的伏安特性曲线必定是通过原点的直线,因为电阻为常量,电流与电压遵从正比关系,所以导线甲是线性电阻,并一定遵从欧姆定律。而导线乙的伏安特性曲线不是直线,电流与电压不满足正比关系,因而不遵从欧姆定律。

    从这个例题中大家可以看到,电阻的定义式与反映金属导电特性的欧姆定律,尽管数学表达形式相同,但其物理意义是有根本差别的。

    例题11-2  两段同心圆弧导线与沿半径方向的导线构成一个闭合的扇形载流回路,如图11-7中的CDEFC所示。已知圆弧所对应的中心角为q,两圆弧的半径分别为R1R2,回路电流为I,求圆心O处的磁感应强度。

      由于圆心O处于直导线EDFC的延长线上,所以这两段直导线在O点产生的磁感应强度为零。这样,扇形载流回路在O点产生的磁感应强度B,只是两段圆弧电流的贡献。

11-7

    先看圆弧电流EF。该圆电流上的任一电流元IdlO点产生的磁感应强度dB1,根据毕奥-萨伐尔定律可以表示为

            .

dB1的方向垂直于纸面指向读者,并且无论电流元Idl取在何处,dB1的方向都相同。所以整个圆弧电流EFO点产生的磁感应强度B1的大小,可以直接对上式积分求得

                ,

B1的方向与dB1的方向相同。

    同样可以求得圆弧电流CDO点产生的磁感应强度B2的大小为

                ,

B2的方向垂直于纸面向里。

    整个扇形载流回路在O点产生的磁感应强度为

                     ,

B的方向与B2的方向相同。

    例题11-3  电流均匀地流过一无限大导体薄板,已知单位长度上的电流密度为j,求空间任意一点的磁感应强度。

      设导体平面上电流密度j的方向沿薄板、并竖直向上,如图11-8所示。大家作一个垂直于电流密度j的平面S,这个平面也必定垂直于导体薄板。由于在这无限大薄板上的电流密度是均匀分布的,所以电流在空间产生的磁感应线一定是平行于薄板的直线,在薄板两侧磁感应强度B的方向正好相反,如图中所示。在所作平面S上画一矩形CDEF,其中矩形边CDEF平行于薄板,长度为l,并且到薄板的距离也相等。沿矩形边CDEFC求磁感应强度B的环路积分,得

11-8

          .

DE段和FC段上,Bdl垂直,上式中的第二项和第四项等于零。在CD段和EF段上,Bdl同方向,上式中第一项和第三项都等于Bl。所以,根据安培环路定理,应有

                         .

由此式马上可以求出

                              .

由此结果可见,无限大均匀导电薄板两侧的磁感应强度B与空间任一点到薄板的距离无关,所以,该薄板两侧的磁场是匀强磁场,而两侧磁场的方向却是相反的。

    以上两个例题都是求磁感应强度的题目。由电流分布求磁场的问题,一般按以下的方法进行:

    (1)  直接从毕奥-萨伐尔定律出发求出电流元在某场点产生的磁感应强度,然后根据叠加原理得到整个电流在该场点产生的磁感应强度。原则上说,用这种方法可以求解任何载流导体在空间产生的磁场;

    (2)  在电流分布具有一定对称性的问题中,可以利用安培环路定理来求解,如例题11-3

    (3)  有时可以直接利用一些常见例子的结果,其中有无限长直电流、圆电流、螺线管和螺绕环等。

    例题11-4  有一无限长螺线管,其中充塞着相对磁导率为m r的各向同性的均匀顺磁介质,螺线管单位长度的线圈匝数为n,所通电流为I。求管内介质中的磁场强度H、磁感应强度B和磁化强度M

      这类问题的一般求解方法和步骤是这样的:

    (1)  根据传导电流的分布,利用安培环路定理的普遍形式求出磁场强度矢量H

    (2)  根据HB的关系,求出磁感应强度B

    (3)  由各向同性非铁磁介质的性质M = cmH,求出磁介质中的磁化强度M

    将以上方法和步骤应用于具体问题时,还要根据问题的性质和已知条件灵活掌握。应该注意的是,在应用以上方法解题时,必须先审查一下,所给问题能否利用安培环路定理惟一求解,也就是说,传导电流和磁介质的分布是否满足一定的对称性。

    在大家的问题中,无限长螺线管和磁介质充满整个螺线管内部,具有所要求的对称性,用安培环路定理可以惟一求解。在这样的螺线管内的磁场是匀强磁场,磁感应强度B0的方向与管轴平行,假设其指向为自左向右,如图11-9所示。

11-9

    (1)  作矩形闭合环路abcda,其中ab与管轴线平行,并处于螺线管的内部,cd处于螺线管外部,bcda与管轴线垂直。在这个闭合环路中,包围的电流的代数和为,根据安培环路定理,应有

                          ,

            .

在以上四项积分中,后三项等于零,第一项可以积分,并等于,故得

                              .

H的方向自左向右。

    (2)  对于各向同性的顺磁介质,下面的关系成立:

                      .

并且m r > 0,所以B的方向与H的方向相同。

    也可以由B0BB0为螺线管内为真空时的磁感应强度,已有

                             .

B0的方向由右手定则确定,大家已经假设自左指向右。在满足所要求对称性的情况下,磁介质内的磁感应强度可以表示为

                          .

与上面的结果相同。

    (3)  根据各向同性的均匀非铁磁介质的性质,MH成正比,故得

                         .

也可以根据H的定义求M

                    .

与上面的结果相同。

    让大家顺便看一下,在磁介质内由磁化电流产生的附加磁场:

              .

可以写为矢量形式,为

                             .

与教材中的式(11-41)相同。                             

    大家来讨论M的方向问题。对于顺磁质,cm > 0m r > 1,所以M的方向与H的方向相同,即自左向右;对于抗磁质cm < 0m r < 1,所以M的方向与H的方向相反,即自右向左。

       
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