[习题解答]

    11-1  如果导线中的电流强度为8.2 A,问在15 s内有多少电子通过导线的横截面?

      设在时间t内通过导线横截面的电子数为N,则电流可以表示为

                                ,

所以

                      .

    11-2  在玻璃管内充有适量的某种气体,并在其两端封有两个电极,构成一个气体放电管。当两极之间所施加的电势差足够高时,管中的气体分子就被电离,电子和负离子向正极运动,正离子向负极运动,形成电流。在一个氢气放电管中,如果在3 s内有2.8´1018 个电子和1.0´1018 个质子通过放电管的横截面,求管中电流的流向和这段时间内电流的平均值。

      放电管中的电流是由电子和质子共同提供的,所以

         .

电流的流向与质子运动的方向相同。

    11-3  两段横截面不同的同种导体串联在一起,如图11-10所示,两端施加的电势差为U。问:

    (1)  通过两导体的电流是否相同?

    (2)  两导体内的电流密度是否相同?

    (3)  两导体内的电场强度是否相同?

    (4)  如果两导体的长度相同,两导体的电阻之比等于什么?

    (5)  如果两导体横截面积之比为1: 9,求以上四个问题中各量的比例关系,以及两导体有相同电阻时的长度之比。

     

11-10

    (1)  通过两导体的电流相同,

    (2)  两导体的电流密度不相同,因为

                                ,

又因为

                                  ,

所以

                                  .

这表示截面积较小的导体电流密度较大。

    (3)  根据电导率的定义

                                  ,

在两种导体内的电场强度之比为

                                 .

上面已经得到,故有

                                  .

这表示截面积较小的导体中电场强度较大。

    (4)  根据公式

                                 ,

可以得到

                                 ,

这表示,两导体的电阻与它们的横截面积成反比。

    (5)  已知,容易得到其他各量的比例关系

                                  ,

                               ,

                               ,

                               .

,则两导体的长度之比为

                               .

    11-4  两个同心金属球壳的半径分别为ab (> a),其间充满电导率为s的材料。已知s是随电场而变化的,且可以表示为s = kE,其中k为常量。现在两球壳之间维持电压U,求两球壳间的电流。

      在两球壳之间作一半径为r的同心球面,若通过该球面的电流为I,则

                                .

又因为

                              ,

所以

                          .

于是两球壳之间的电势差为

                      .

从上式解出电流I,得

                               .

    11-5  一个电阻接在电势差为180 V电路的两点之间,发出的热功率为250W。现将这个电阻接在电势差为300 V的电路上,问其热功率为多大?

      根据焦耳定律,热功率可以表示为

                                 ,

该电阻可以根据上式求得,为

                                 .

当将该电阻接在电压为U2 = 300 V的电路上时其热功率为

                         .

    11-7  当对某个蓄电池充电时,充电电流为2.0 A,测得蓄电池两极间的电势差为6.6 V;当该蓄电池放电时,放电电流为3.0 A,测得蓄电池两极间的电势差为5.1 V。求该蓄电池的电动势和内阻。

      设蓄电池的电动势为e、内阻为r。充电时,电流为I1 = 2.0 A,两端的电压为U1 = 6.6 V,所以

                                .                          (1)

放电时,电流为I2 = 3.0 A,两端的电压为U2 = 5.1 V,所以

                               .                          (2)

以上两式联立,解得

                          ,

                           .

    11-8  将阻值为3.6 W的电阻与电动势为2.0 V的电源相联接,电路中的电流为0.51 A,求电源的内阻。

      在这种情况下,电路的电流可以表示为

                               .

由此解得电源的内阻为

                          .

    11-9  沿边长为a的等边三角形导线流过电流为I,求:

    (1)  等边三角形中心的磁感应强度;

    (2)  以此三角形为底的正四面体顶角的磁感应强度。

     

    (1)  由载流导线AB在三角形中心O(见图11-11)产生的磁感应强度B1的大小为

11-11

          ,

式中

            ,

                   .

于是

                  .

由三条边共同在点O产生的磁感应强度的大小为

                            ,

方向垂直于纸面向里。

11-12

    (2)  11-12 (a)表示该四面体,点P就是四面体的顶点。载流导线AB在点P产生的磁感应强度的大小为          

                         ,

式中b是点PAB的距离,显然

                          .

a1 = ÐPAD = 60° a2 = p - ÐPBD = 120° ,于是

                              ,

B*处于平面PCD之内、并与PD相垂直,如图11-12 (b)所示。由图11-12 (b)还可以看到,B*与竖直轴线OP的夹角为a,所以载流导线AB在点P产生的磁感应强度沿该竖直轴的分量为

            .

    由于对称性,载流导线BCCA在点P产生的磁感应强度沿竖直轴的分量,与上式相同。同样由于对称性,三段载流导线在点P产生的磁感应强度垂直于竖直轴的分量彼此抵消。所以点P的实际磁感应强度的大小为

                           ,

方向沿竖直轴PO向下。

    11-10  两个半径相同、电流强度相同的圆电流,圆心重合,圆面正交,如图11-13所示。如果半径为R,电流为I,求圆心处的磁感应强度B

11-13

      两个正交的圆电流,一个处于xy平面内,产生的磁感应强度B1,沿z轴正方向,另一个处于xz平面内,产生的磁感应强度B2,沿y轴正方向。这两个磁感应强度的大小相等,均为

               .

圆心O处的磁感应强度B等于以上两者的合成,B的大小为

        ,

方向处于yz平面内并与轴y的夹角为45°

11-14

    11-11  两长直导线互相平行并相距d,它们分别通以同方向的电流I1 I2 A点到两导线的距离分别为r1 r2,如图11-14所示。如果d = 10.0 cm , I1 = 12 AI2 = 10 Ar1 = 6.0 cmr2 = 8.0 cm,求A点的磁感应强度。

      由电流I1I2在点A产生的磁感应强度的大小分别为

            

             ,

它们的方向表示在图11-14中。

    r1r2之间的夹角a,在图中画作任意角,而实际上这是一个直角,原因是

                               ,

所以B1B2必定互相垂直。它们合成的磁感应强度B的大小为

   .

B1B2的夹角为j,则

                           ,

                                .

    11-14  一长直圆柱状导体,半径为R,其中通有电流I,并且在其横截面上电流密度均匀分布。求导体内、外磁感应强度的分布。

11-15

      电流的分布具有轴对称性,可以运用安培环路定理求解。

    以轴线上一点为圆心、在垂直于轴线的平面内作半径为r的圆形环路,如图11-15所示,在该环路上运用安培环路定理:

    在圆柱体内部

            ,

由上式解得

                ().

    在圆柱体外部

                            ,

由上式解得

                            () .

    磁感应强度的方向都可以根据电流的流向由右手定则确定。

    11-15  一长直空心圆柱状导体,电流沿圆周方向流动,并且电流密度各处均匀。若导体的内、外半径分别为R1R2 ,单位长度上的电流为i,求空心处、导体内部和导体以外磁感应强度的分布。

      电流的这种分布方式,满足运用安培环路定理求解所要求的对称性。必须使所取环路的平面与电流相垂直,图11-16中画的三个环路就是这样选取的。

11-16

    在管外空间:取环路1,并运用安培环路定理,得

              ,

                .

    在管内空间:取环路2,并运用安培环路定理,得

,

                             ,

                                .

B2的方向可用右手定则确定,在图11-13中用箭头表示了B2的方向。

    在导体内部,取环路3ab边处于导体内部,并与轴线相距r。在环路3上运用安培环路定理,得

         ,

整理后,得

                          ,

于是可以解得

                             ,

方向向左与轴线平行。

    11-16  有一长为l = 2.6´10-m的直导线,通有I = 15 A的电流,此直导线被

放置在磁感应强度大小为B = 2.0 T的匀强磁场中,与磁场方向成a = 30°角。求导线所受的磁场力。

11-17

      导线和磁场方向的相对状况如图11-17所示。根据安培定律

                 ,

导线所受磁场力的大小为

    ,

力的方向垂直于纸面向里。

    11-17  有一长度为1.20 m的金属棒,质量为0.100 kg,用两根细线缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为1.00 T的匀强磁场中,磁场的方向与棒垂直,如图11-18所示。若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先所受的张力,求电流的大小和流向。

11-18

      设金属棒所通电流为I。根据题意,载流金属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡,即

                   ,

所以

              .

电流的流向为自右向左。

    11-18  在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈,矩形线圈的长边与长直导线平行,如图11-19所示。若直导线中的电流为I1 = 20 A,矩形线圈中的电流为I2 = 10 A,求矩形线圈所受的磁场力。

11-20

11-19

  根据题意,矩形线圈的短边bcda(见图11-20)受磁场力的大小相等、方

向相反,互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边abcd所受磁场力的合力。ab边所受磁场力的大小为

                       ,

方向向左。cd边所受磁场力的大小为

                             ,

方向向右。矩形线圈所受磁场力的合力的大小为

                 ,

方向沿水平向左,与图11-20F1的方向相同。

11-21

    11-19  在半径为R的圆形单匝线圈中通以电流I1 ,另在一无限长直导线中通以电流I2 ,此无限长直导线通过圆线圈的中心并与圆线圈处于同一平面内,如图11-21所示。求圆线圈所受的磁场力。

      建立如图所示的坐标系。根据对称性,整个圆线圈所受磁场力的y分量为零,只考虑其x分量就够了。在圆线圈上取电流元I1dl,它所处位置的方位与x轴的夹角为q,如图所示。电流元离开y轴的距离为x,长直电流在此处产生的磁场为

                .

电流元所受的磁场力的大小为

                               .

这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点)。将代入上式,得

                             .

x分量为

                      ,

整个圆线圈所受磁场力的大小为

                       ,

负号表示Fx沿x轴的负方向。

    11-20  有一10匝的矩形线圈,长为0.20 m,宽为0.15 m,放置在磁感应强度大小为1.5´10-3 T的匀强磁场中。若线圈中每匝的电流为10 A,求它所受的最大力矩。

      该矩形线圈的磁矩的大小为

                            ,

磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。

    当线圈平面与磁场方向平行,也就是线圈平面的法向与磁场方向相垂直时,线圈所受力矩为最大,即

                  .

    11-21  当一直径为0.020 m10匝圆形线圈通以0.15 A电流时,其磁矩为多大?若将这个线圈放于磁感应强度大小为1.5 T的匀强磁场中,所受到的最大力矩为多大?

      线圈磁矩的大小为

                    .

所受最大力矩为

                         .

    11-22  由细导线绕制成的边长为an匝正方形线圈,可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转,在线圈中通以电流I,并将线圈放于水平取向的磁感应强度为B的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期T。设线圈的转动惯量为J,并忽略电磁感应的影响。

      设线圈平面法线与磁感应强度B成一微小夹角a,线圈所受力矩为

                     .                (1)

根据转动定理,有

                               ,

式中负号表示L的方向与角加速度的方向相反。将式(1)代入上式,得

                            ,

或写为

                             .                       (2)

                               ,                           (3)

将式(3)代入式(2),得

                              .                         (4)

因为w是常量,所以上式是标准的简谐振动方程,马上可以得到线圈的振动周期,为

                           .

    11-23  假如把电子从图11-22中的O点沿y方向以1.0´107 m×s-1 的速率射出,使它沿图中的半圆周由点O到达点A,求所施加的外磁场的磁感应强度B的大小和方向,以及电子到达点A的时间。

11-22

      要使电子沿图中所示的轨道运动,施加的外磁场的方向必须垂直于纸面向里。磁场的磁感应强度的大小可如下求得

                 ,

            .              

    电子到达点A的时间为

.

    11-24  电子在匀强磁场中作圆周运动,周期为T = 1.0´10-8 s

    (1)  求磁感应强度的大小;

    (2)  如果电子在进入磁场时所具有的能量为3.0´103 eV,求圆周的半径。

     

    (1)  洛伦兹力为电子作圆周运动提供了向心力,故有

                               ,

由此解出B,得

                   .

    (2)  电子在磁场中作圆周运动的轨道半径可以表示为

                                 ,

代入上式,得

                        .

    11-25  电子在磁感应强度大小为B = 2.0´10-3 T的匀强磁场中,沿半径为R = 2.0 cm的螺旋线运动,螺距为h = 5.0 cm。求电子的运动速率。

      电子速度垂直于磁场的分量可如下求得

                               ,

所以

                        .

电子速度平行于磁场的分量v// 可根据螺距的公式求得

                               ,

所以

                        .

于是,电子的运动速率为

                       .

    11-26  在匀强磁场中叠加一匀强电场,让两者互相垂直。假如磁感应强度和电场强度的大小分别为B = 1.0´10-2 TE = 3.0´104 V×m-1 ,问垂直于磁场和电场射入的电子要具有多大的速率才能沿直线运动?

11-23

      根据题意,电场、磁场和电子的运动速度v三者的相对取向如图11-23所示。要使电子沿直线运动,速度v的大小应满足

                    ,

所以速度的大小应为

             .

    11-29  半径为R的磁介质球被均匀磁化,磁化强度为M,求:

     (1)   由磁化电流在球心产生的磁感应强度和磁场强度;

11-24

    (2)  由磁化电流产生的磁矩。

     

    (1)  取球心O为坐标原点、z轴水平向右建立如图11-24所示的坐标系。根据

               ,

可以确定介质球表面的磁化电流的大小为

              ,

磁化电流的方向如图所示。在球面上取宽度为dl的环,环上的磁化电流在球心O产生的磁感应强度可以表示为

                            .

kz方向的单位矢量。将代入上式积分,得

         ,

或写为矢量

                               .

    磁场强度为

                          .

这表明,球内的磁场强度的方向与磁化强度的方向相反。

    (2)  上一问所取的表面环的磁矩为

                               ,

式中是圆环所包围的面积,代入上式并积分,得

                    ,

或写为矢量

                               .

可见,整个磁介质球由磁化电流产生的磁矩等于磁介质的磁化强度与体积的乘积。从磁化强度的定义看,这个结论是显而易见的。

11-25

    11-30  半径为r、磁导率为m1 的无限长磁介质圆柱体(做内导体)与半径为R ( > r )的无限长导体圆柱面(做外导体)同心放置,在圆柱体和圆柱面之间充满磁导率为m2 的均匀磁介质(做绝缘体),这样就构成了一根无限长的同轴电缆,如图11-25所示。现在内、外导体上分别通以电流I-I,并且电流在内、外导体横截面上分布均匀,试求:

    (1)  圆柱体内任意一点的磁场强度和磁感应强度;

    (2)  圆柱体和圆柱面之间任意一点的磁场强度和磁感应强度;

    (3)  圆柱面外任意一点的磁场强度和磁感应强度。

      电流和磁介质的分布都满足轴对称,可以用普遍形式的安培环路定理求解。在垂直于轴线的平面内,作三个同心圆,它们分别处于圆柱体内、圆柱体和圆柱面之间以及圆柱面外,其半径分别是r1r2r3,如图11-25所示。

    (1)  圆柱体内部,以半径为r1的圆作为环路,,运用安培环路定理,得

,

                                ,

                             .

H1B1的方向可以根据内导体电流的流向由右手定则确定。

    (2)  在圆柱体和圆柱面之间的绝缘体内,以半径为r2的圆作为环路,r < r2 < R,运用安培环路定理,得

                           ,

                                ,

                             .

H2B2的方向可以根据内导体电流的流向由右手定则确定。

    (3)  在圆柱面之外,以半径为r3的圆作为环路,r3 > R,运用安培环路定理,得

                          ,

                                 ,

                                  .

11-26

    11-31  一个螺绕环单位长度上的线圈匝数n = 10 cm-1 ,绕组中的电流I = 2.0 A。当在螺绕环内充满磁介质时,测得其中磁感应强度B = 1.0 T,试求:

    (1)  磁介质存在和不存在时,环内的磁场强度;

    (2)  磁介质存在和不存在时,环内的磁化强度;

    (3)  磁介质的相对磁导率。

      在环内取半径为r的同心圆形环路,如图11-26所示。

    (1)  磁介质不存在时:

                           ,

                                ,

                        .

方向如图中箭头所示。

    磁介质存在时磁场强度不变。

    (2)  磁介质不存在时磁化强度为零,即

                                   .

磁介质存在时:

                       .

方向如图中箭头所示。

    (3)  磁介质的相对磁导率:

                             .

   11-32  假如在相对磁导率为m r 的均匀磁介质内部一点的传导电流密度为j0 ,试求该点附近的磁化电流密度j ¢

      在磁介质内任取一闭合环路L,并运用安培环路定理

                .            (1)

式中S是以L为边界的曲面。另外有

                        .                     (2)

将关系式代入式(1),得

                     ,

因为磁介质是均匀的,所以 m r为常量,可以提到积分号之外,故上式可以写为

                       .                        (3)

比较式(3)与式(2),得

                      .

因为L是任意画的,所以可以将它缩小为一点,于是由上式可得

                             ,

                             .

       
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