§12-4  磁场的能量

    在§9-8中大家曾经讨论过电场的能量,并从平行板电容器的特例推导出电场能量密度的一般表示式

                          .

与此相似,磁场也具有能量。下面大家从螺绕环磁场能量的特例中导出磁场能量的一般表示式。

图 12-14

    将自感为L的螺绕环、电阻为R的电阻器、电动势为e的电源以及电键K1、K2联接成图12-14所示的电路,图中BX表示保险丝。实验前,电键K1和K2都是断开的。实验开始时,将电键K1合上,螺绕环、电阻器和电源串联成闭合回路,电路上出现了电流i,由于螺绕环的自感而产生自感电动势eL,感应电流的方向与i相反,致使i上升缓慢,经过一段时间(从0到t0)后才达到稳定值I。在t1时刻,突然将电键K2合上,电源被短路,保险丝BX被突如其来的大电流熔断,电源被从RL电路中隔除。与此同时,RL通过K2自成闭合回路。由于电源突然停止向RL电路提供电流,使螺绕环产生自感电动势,此电动势提供的电流i ¢ 继续在R、L与K2自成的闭合回路中维持一段时间,到t2时刻才消失。

图 12-15

    在上述过程中,电阻R上的电流i随时间的变化可以用图12-15中的曲线表示。在电路电流恒定阶段(从t0t1 ),电源所提供的能量,全部转变为电阻R上的焦耳热(忽略电路其他部分的电阻)。在0至t0阶段,电源电动势一方面要对电路提供电流i,另一方面还要克服螺绕环L的自感电动势而作功。由电流i携带的电能,在电阻R上转变为热能,而电源为克服L的自感电动势所付出的电能,则转变为磁场能储存在螺绕环内的磁场中。

    当保险丝熔断后电源马上停止向电路提供能量,而螺绕环L的自感电动势向电路提供了能量,使电路中出现了电流i ¢。电流i ¢ 随时间减小,大家用图12-15中t1t2时间内的一段曲线i¢(t)表示。显然,i ¢也将消耗在电阻R上,转变为热能。这部分能量就是先前储存在螺绕环内的磁场能量。

    在从0到t0这段时间可以列出下面的方程

                          e +eL = iR .                    (12-21)

因为螺绕环磁芯可能是由铁磁质做成的,也可能是由非铁磁质做成的,所以大家将它的自感电动势eL 写为感应电动势的一般形式,即

                     eL = ,

式中l是螺绕环的平均周长,S是磁芯的截面积,n是螺绕环线圈平均周长单位长度上的匝数。将上式代入式(12-21),得

                        e = ,

id t乘以上式等号两边,得

                      e id t = inlSdB + i2Rd t ,               (12-22)

式中等号左边表示在d t时间内电源对电路作的功,此功所对应的电能的一部分转变为磁场能(等号右边第一项)并储存在螺绕环内部的磁场中,另一部分由电阻R转变为焦耳热(等号右边第二项)。显然,大家感兴趣的是上式右边第一项。

    在d t时间内电源提供给螺绕环的磁场能量为in lSdB,提供给单位体积的磁场能量则为indB根据安培环路定理马上可以求得环内的磁场强度为H = ni,所以磁场能量密度可以表示为

                           .                  (12-23)

这个公式虽然是从螺绕环磁场的特例中推出的,可以证明它是磁场能量密度的一般表达式,并且适用于真空和任何各向同性的磁介质。

    对于各向同性的顺磁质和抗磁质,B =m0m r H,代入式(12-23),得

              ,      (12-24)

整个磁场的能量可表示为

                   ,           (12-25)

式中的积分在整个磁场中进行。在上述螺绕环的特例中,如果磁芯是用各向同性的顺磁质或抗磁质做成的,当电流达到稳定值I时,根据公式(12-24),磁场能量为

                   .      (12-26)

因为螺绕环的自感可表示为

                           L = m n 2 l S ,

代入式(12-26),得

                           .                  (12-27)

可见,这里讨论的磁场能量是与电路的自感相联系的,故称为自感磁能。式(12-27)是对于各向同性的顺磁质和抗磁质磁芯自感磁能的表示式。

       
XML 地图 | Sitemap 地图