§12-6  麦克斯韦电磁理论

    一、位移电流

         前面大家在库仑定律的基础上得到了反映静电场基本规律的高斯定理和静电场的环路定理,其中高斯定理可以表示为

                      .              (12-46)

麦克斯韦(J.C.Maxwell, 1831-1879)将这个定理推广到非恒静情况,认为高斯定理既适用于恒静情况也适用于非恒静情况。而静电场的环路定理表明了静电场是保守场,在一般情况下空间可能还存在另一种电场,即涡旋电场,涡旋电场是非保守场。在法拉第电磁感应定律的基础上,得到了电场环路定理的一般形式

                      .             (12-47)

    在毕奥-萨伐尔定律的基础上得到了恒磁场的基本规律,即磁场的高斯定理和安培环路定理,它们分别由下面两式表示

                        ,                    (12-48)

                     .                  (12-49)

实验表明,磁场的高斯定理[式(12-48)]既适用于恒静情况,也适用于非恒静情况,而安培环路定理[式(12-49)]只适用于恒静情况,若要使它也能用于非恒静情况,必须对它进行修正。

    如果深入考查一下上面四个反映电磁学基本规律的方程式,大家会发现,这四个方程存在着严重的不对称性。这种不对称性表现在:变化的磁场可以激发电场[式(12-47)],却看不到变化的电场能否激发磁场,也就是说,变化的电场不具有与变化的磁场相当的地位。这种不对称性常常会启发人们去思考,去探索。

    显然,上面所说的不对称性与式(12-49)的局限性是同一个问题,也就是说,式(12-49)修正后的形式既适用于非恒静情况,又解决了电磁学基本规律的对称性问题。位移电流概念就是在修正式(12-49)时提出的。

    判断一个环路是否包围电流的通常标准,就是看电流与以该环路为边界的任一曲面是否有奇数个截点,若有,就认为环路包围该电流,否则就不包围该电流。

    根据这个判断标准,方程式(12-49)只能适用于恒静情况是显而易见的。因为恒定电流只存在于闭合电路中,若环路L包围电流I0 (电流密度为j0 ),对于以同一环路L为边界的任意两个曲面S1S2必定分别有

                 和   ,

S1S2合起来必定构成一个闭合曲面。对于这个闭合曲面应有

,

这正是电流的恒定条件。这表明,电流的恒定条件(即传导电流的连续性方程)保证了穿过任意一个以L为边界的曲面的电流都等于传导电流I0 。所以大家可以得到这样的结论:传导电流的连续性保证了安培环路定理在恒静情况下的正确性。

    但在非恒静情况下,矛盾就出现了。让大家看由图12-18所表示的电容器充电的情形。在电容器被充电的过程中,电路中有充电电流I0 (电流密度为j0)。对于以L为边界的曲面S1,与电流有一个截点,所以环路L包围电流I0,安培环路定理应表示为

         .

而对于穿过电容器两极板之间的曲面S2,与电流无截点,按照上述判断标准,环路L不包围电流I0,安培环路定理应写为

.

图 12-18

可见,在非恒静情况下,对于同一环路L得到了两个不同的结果。

    与恒静情况相比,在非恒静条件下矛盾的出现,显然是由于在这种情况下传导电流不再连续所致。如若在非恒静情况下也存在一个什么“电流”能够保持连续的话,上述矛盾可能会得以解决。

         电流的连续性方程可以表示为

                  .         (12-50)

将式(12-46)代入上式,得

                     ,

整理后改写为

                      ,               (12-51)

这表示,在非恒静情况下矢量 是连续的。麦克斯韦把 称为位移电流密度,而把 称为全电流密度,分别用jdj表示,即

                      j = j0 + jd = .                (12-52)

    全电流的连续性,表示传导电流与位移电流之和是连续的,在传导电流中断的地方,必定有等量的位移电流接续下去。所以在安培环路定理中,原先的传导电流应以全电流取代,即

                  ,                (12-53)

这就是适用于一般情况的安培环路定理。它明确地表示,不仅传导电流要激发磁场,位移电流同样要激发磁场。这个定理的微分形式可表示为

                       .                 (12-54)

    让大家看一下位移电流的确切涵义。将定义式D = e 0E + P代入位移电流密度的表达式,得

                     .              (12-55)

上式右边第二项 是介质的极化状况随时间变化所提供的位移电流, 因为介质的极化状况是与极化电荷相对应的,所以这是极化电荷的变化引起的电流。式(12-55)右边第一项 是电场随时间的变化所贡献的位移电流,是位移电流的基本组成部分。因为在真空中P = 0, = 0,所以 成为位移电流的惟一成分。可见,位移电流虽然也叫做电流, 但并不一定与电荷的移动相对应。      

       
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